Вполне естественно, что определение формы орбит, описываемых под действием сил, подчиняющихся закону тяготения, привело Ньютона и его последователей к исследованию случая других законов для силы и к изучению точно также обратной задачи, а именно к выяснению вопроса, при каком законе для силы, направленной к данной точке, может быть описана данная орбита.

Как и в предылущем случае, эти вопросы решаются проще всего при помощи теоремы о моменте количеств движения и уравнения энергии. Первая из упомянутых выше теорем приводит, как и прежде, к равенству:
\[
p v=h,
\]

где $v$ есть скорпсть, $p$-длина перпендикуляра, опущенного из центра сил на касательную к траекторни, а $h$-постоянное. Следовательно, радиу-вектор в равные промежутки времени описывает одинаковые площади, причем изменение площади в единдцу времени (секториальная скорость) равно $\frac{1}{2} h$ ( $\S 76$ ).

Далее, если ускорение, направ енное к цечтру и созтаваемпе силою, будет $\psi(r)$, то потенциальная энергия, т. е. работа, которую необходимо затратить, чтобы перевести материальную точку из состояння покоя в некоторое ‘фиксирэванное положение, находяшееся на расстоянии $r$ от центра, будет для единицы массы ( (Статика“, § 49) выра- $^{2}$ жаться интегралом
\[
\int_{\varphi}(r) d r .
\]

Следовательно, уравнение энергии имеет следующий вид:
\[
\frac{1}{2} v^{2}+\int \varphi(r) d r=\text { const. }
\]

Делая подстановку из (1), мы получим тангенциальное полярное уравнение траектории, а именно:
\[
\frac{h^{2}}{p^{2}}=C-2 \int \varphi(r) d r .
\]

Это уравнение определяет форму и размеры орбиты, если дано значение $C$, но не определяет расположения ее относительно центра силы.

Таким образом в случае
\[
\varphi(r)=\mu r
\]

ми нмеем:
\[
\frac{h^{2}}{p^{2}}=C-\mu r^{3} \text {. }
\]

Если мы сравним это уравнение с тангенциальным полярным уравнением эллипса, отнесенным к центру, а именно:
\[
\frac{a^{2} b^{2}}{p^{2}}=a^{2}+b^{2}-r^{2}
\]

то мы увидим, что оба уравнения тождественны, если будет
\[
a^{2} b^{2}=\frac{h^{2}}{\mu}, \quad a^{2}+b^{2}=\frac{C}{\mu} .
\]

Так как на основанин (5) постоянное $C$ необхотимо положительно, то значения $a^{2}$ и $b^{2}$, определенные из системы уравненнем (7), будут хећствительными и положительными при условии
\[
C^{2}>4 \mu h^{2} .
\]

Если $p, r$ относятся $\times$ любой данной точке орбиты, то мы на основании (5) ниеем:
\[
c^{2}-4 \mu h^{2}=\left(\frac{h^{2}}{p^{2}}-\mu r^{2}\right)^{2}+4 \mu h^{2}\left(\frac{r^{2}}{p^{2}}-1\right) .
\]

где правая часть положительна, так как $p<r$. Поэтому мы заключаем, что орбита во всех случаях можт быть отождествлена с эллиисом, центр которого совпадает с центром сил.
На основании (7) период обращения будет выражаться формулою:
\[
T=\frac{2 \pi a b}{h}=\frac{2 \pi}{V \mu},
\]

как и в § 28. Далее, на основании (7) и (8) мы имеем:
\[
v^{2}=\mu\left(a^{2}+b^{2}-r^{2}\right) .
\]

Это равенство показывает, что скорость в любэи точке $P$ пропорци: ональна половине диаметра, параллельного касательной, проведенной в точке $P$.

Случай $\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{2}}$ мы уже рассмотрели. В случае отталкивающей силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, мы имеем:
\[
\varphi(r)=-\frac{\mu}{r^{2}},
\]

и следовательно,
\[
\frac{h^{2}}{p^{2}}=C-\frac{2 \mu}{r} \text {. }
\]

Сравнивая это урэвнение с уравнением ветви гиперболы, отнесеннои к наружному фокусу:
\[
\frac{l}{p^{2}}=\frac{1}{a}-\frac{2}{r} .
\]

мы видим, что оба уравнения тождественны при условии
\[
l=\frac{h^{2}}{\mu} ; \quad a=\frac{\mu}{C} .
\]

Так как $C$ необходимо положительно, то эти условия можно выполнить всег да.