Очевидно, что вектор $P Q$, указывающий положение точки $Q$ относительно точки $P$, представляет разность радиусов-векторов точек $P$ и $Q$, исходящих из начала координат $O$. Следовательно, если точки $P$ и $Q$ рассматривать, как движущиеся точки, то перемещение точки $Q$ относительно точки $P$ за какой-либо промежуток времени будет представлять геометрическую разность перемещений точек $P$ и $Q$. Это следует непосредственно из правила сложения векторов, но то же можно показать и на чертеже. Если из неподвижной точки $C$ провести отрезки $C R$, равные и параллельные отрезку $P Q$ в разных положениях последнего, то геометрическое меФиг. 19. сто точек $R$ даст траекторию точки $Q$ в ее движении относительно точки $P$. Следовательно, если $P, Q$ и $P^{\prime}, Q^{\prime}$ обозначают две пары совместных положений движущихся точек и если провестн отрезки $C R, C R^{\prime}$, параллельные и равные отрезкам соответственно $P Q$ и $P^{\prime} Q^{\prime}$, то $R R^{\prime}$ представит относительное перемещение точки $Q$ за выбранный промежуток времени. Но если мы дополним построение параллелограмом $P P^{\prime} S Q$, который определяется сторонами $P P^{\prime}$ и $F Q$, то треугольники $C R R^{\prime}$ и $P^{\prime} S Q^{\prime}$ будут конгруэнтными (фиг. 19). Следовательно,
\[
R R^{\prime}=S Q^{\prime}=Q Q^{\prime}-Q S=Q Q^{\prime}-P P^{\prime},
\]

что и требовалось доказать.
Далее, рассматривая перемещения за единицу времени, мы видим, что скорость точки $Q$ относительно точки $P$ равна геометрической разности скоростей $Q$ и $P$. Рассматривая изменения скоростей в единицу времени, мы получаем аналогичное правило для относительного ускорения.

В векторных обозначениях, если через $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}$ обозначить радиусывекторы точек $P, Q$, имеющих началом неподвижную точку $O$, то относите.тьное перемещение точки $Q$ выразится посредством формулы:
\[
\delta\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)=\delta \boldsymbol{r}_{2}-\delta \boldsymbol{r}_{1} ;
\]

относительная скорость будет:
\[
\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)=\dot{\boldsymbol{r}}_{2}-\dot{\boldsymbol{r}}_{1},
\]

а относительное ускорение
\[
\frac{d}{d t}\left(\dot{r}_{2}-\dot{r}_{1}\right)=\ddot{r}_{2}-\ddot{r}_{1} .
\]

В декартовых координатах составляющие относительного перемещения будут:
\[
\delta x_{2}-\delta x_{1}, \quad \delta y_{2}-\delta y_{1} ;
\]

составляющие относительной скорости:
\[
\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}, \quad \dot{y}_{2}-\dot{y}_{1},
\]

и составляющие относительного ускорения:
\[
\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1}=\ddot{y}_{2}-\ddot{y}_{1} \text {. }
\]

Как и в § 2 , видно, что ускорение движущейся точки $P$ относительно начала коордичат $O$, движущегося с постоянной скоростью, равно абсолютному ускорению точки $P$.