Точка, в которой радиус, проведенный из центра силы, встречает орбиту под прямым углом, называется ,апсидою “, а соответствующий радиус-вектор называется „линиею апсид“\».

Если сила на одном и том же расстоянии будет всегда одинаковою, то линия апсид будет делить орбиту на две симметричных половины. Действительно, если в апсиде направление скорости точки изменить на обратное, то точка будет снова описывать свою прежнюю траекторию. Кроме того, траектории, описываемые двумя материальными точками, начавшими двигаться из апсиды с равными и противоположньми скоростями, должны быть симметричными.
Фиг. 84.
Фиг. 85.
Из этого следует, что если апсиды будут повтогяться, то они будут повторяться, через олинаковые угловые интервалы. Действительно, если $O A, O B$ будут раднусы, проведенные из центра силы к двум последовательным апсидам, то точка $A^{\prime}$, представляющая зеркальное изображение точии $A$ относительно линии $O B$, благодаря симметрии относительно $O B$ будет следующею апсидою. Апсида, следующая за апсидой $A^{\prime}$, будет в точке $B^{\prime}$, представляющей зеркальное изображение $B$ относительно $O A^{\prime}$, и т. д. Углы $A O B, B O A^{\prime}, A^{\prime} O B^{\prime}, \ldots$ все будут равны между собой; их величина называется „апсидальным\» углом орбиты. Расстояния $O A$, $O B . O A^{\prime}, O B^{\prime} \ldots$ называются папсидальными расстояниям\»; они попеременно равны между собой. В эллиптической орбите, описываемой около центра, апсидальный угол равен $\frac{1}{2} \pi$, а апсидальные расстояния равны полуосям $a, b$; в эллипсе, описанном около фокуса, апсидальный угол

В любой почти круговой орбите промежуток времени между положениями с максимальным и минимальным радиусами-векторами равен $\frac{\pi}{n}$, где $n$ выражается формулою (11) § 87. За этот промежуток времени радиус-вектор описывает угол
\[
\frac{\pi \omega}{n}=\frac{\pi}{\sqrt{\frac{a \psi^{\prime}(a)}{\varphi(a)}+3}},
\]

который гаким образом представляет апсидальный угол. В случае, если сила пропорциональна какой-либо степени расстояния, например
\[
\varphi(r)=\frac{\mu}{r^{r}},
\]

этот угол будет равен
\[
\frac{\pi}{\sqrt{3-s}},
\]

и таким образом он не зависит от диаметра круга.
Наоборот, можно утверждать, что апсидальный угол не может иметь олинаковое значение для всех почти круговых орбит, если сила изменяется не пропорционально некоторой степени расстояния. В самом деле, если рассматриваемый угол имеет постоянное значение $\frac{\pi}{m}$, то мы должны иметь:
\[
\frac{a^{\prime} \varphi^{\prime}(a)}{\varphi(a)}+3=m^{2},
\]

или
\[
\frac{\varphi^{\prime}(a)}{\varphi(a)}=\frac{m^{2}-3}{a} .
\]

Следовательно, должно быть
\[
\ln \varphi(a)=\left(m^{2}-3\right) \ln a+\text { const, }
\]

или
\[
\varphi(a)=\mu a^{m^{3}-3} .
\]

В частности, апсидальный угол не иожет равняться $\pi$, если сила изменяется с расстоянием не по закону Ньютона. Из этого следует, как это и было высказано Ньютоном, что если бы истинный закон тяготения отклонялся незначительно от обратной пропорциональности квадрату расстояния, то вследствие этого происходило бы прогрессирующее движение перигелиев всех планет. Например, если бы показатель $s$ в (2) имел значение $2+\lambda$, где $\lambda$-малая величина, то апсидальный угол на основании (3) имел бы приближенное значение $\left(1+\frac{1}{2} \lambda\right) \pi$, и ближайшая апсида при каждом обходе орбиты перемещалась бы на $\lambda \pi$.

Движение апсиды в одном направлении действительно наблюдается у всех планет, а также у Луны, гае оно значительно, но это объясняется удовіетворительно возмушающим действием других тел ${ }^{1}$ ).

Для того чาобы почти круговая орбита была замкнутою или чтобы после одного обхода ее концы сходились, апсидальньй угол должен содержаться в $2 \pi$ четное число раз. Следовательно, значение $m$ в (5) должно быть целым. Единственным случаем, при котором сила уменьшается с увеличением расстояния, будет случай, когда $m=1$. Таким образом закон изменения силы обратно пропорционально квадрату расстояния является единственным законом, при котором невозмущенная орбита планеты, если она имеет конечные размеры, необходимо будет представлять овальную кривую. Этот вывод имеет практическое применение к случаю двойных звезд. При возможности произвести достагочное число наблюдений обнаруживалось, что относительная орбита каждой из двух компонент двойной звезды представляет овальную кривую, похожую на эллипс, хотя тело, к которому отнесено движение, может и не находиться в фокусе. Предыдущее замечание приводит к заключению, что закон тяготения имеет место также и в этом случае, причем кажущееся отклонение пцентра силы от фокуса объясняется тем, что мы наблюдаем не истинную орбиту, которая наклонена к линии зрения, а ее проекцию на фоне неба.