Координаты $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ возможных положений равновесия в консерваливном поле (которое здесь для простоты принято двухразмерным) определяются условиями:

или
\[
\begin{array}{ll}
X=0, & Y=0, \\
\frac{\partial U}{\partial x}=0, & \frac{\partial U}{\partial y}=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, положение равновесия характеризуется тем свойством, что потенциальная энергия стационарна для всех бесконечно малюх перемещения. Точно так же это следует и непосредственно из § 31 (1).

Чтобы исследовать харлктер равновесия в отдельных случаях, мы предположим, что начало координат перенесено в рассматриваемое положение. Далее, мы предположим, что значения $U$ в точках, расположенных в непосредственной близости от начала координат, могут быть разложены по степеням $\boldsymbol{x}$ и $y$, а именно:
\[
U=U_{0}+a x+\beta y+\frac{1}{2}\left(a x^{2}+2 h x y+b y^{2}\right)+\ldots
\]

Так как равенства (1) должны удовлетворяться при $x=0, y=0$, то коэфициенты $\alpha, \beta$ должны быть также равны нулю, так что
\[
U-U_{0}=\frac{1}{2}\left(a x^{2}+2 h x y+b y^{2}\right)+\ldots
\]

Следовательно, пренебрегая членами третьего и более высокого порядка, мы можем сказать, что в непосредственной близости к началу координат эквипотенциальными линиями являются концентрические и подобные конические сеуения
\[
a x^{2}+2 h x y+b y^{2}=\text { const. }
\]

Если оси координат выбраны так, чтобы они совпядали с главными осями этих конических сечений, то формула (3) примет более простой вид:
\[
U-U_{0}=\frac{1}{2}\left(a x^{2}+b y^{2}\right)+\ldots,
\]

где, конечно, $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ будут иметь уже другие значения. Следовательно, для малых значений $x, y$ уравнения движения точки $m$ примут вид:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x}=-a x, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial y}=-b y .
\]

Таким образом, если оба коэфициента в (5) положительны, то движение будет состоять из двух накладывающихся одно на другое простых гармонических колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях с периодами соотєетственно
\[
2 \pi \sqrt{\frac{m}{a}} \text { и } 2 \pi \sqrt{\frac{m}{b}} .
\]

как и в теории маятника Блекберна, движение которого представляет частный случай рассматриваемого здесь движения. Отсюда следует, что если начальные перемещения и скорости достаточно малы, то материальная точка будет колебаться около положения равновесия, которое, следовательно, является „устойчивым\”.

Если, с другой стороны, тот или другой из коэфициентов $a$ или о отрицателен, то решение соответствующего диференциального уравнения будет заключать в себе действительные показатели, как в § 15, и как бы мало отклонение ни было, оно вообще будет стремиться увеличиваться до тех пор, пока разложение в ряд и соответствующее приближение не перестанет быть действительным. Такое положение равновесия называется неустойчивым\”.

Формула (5) показывает, что оба коэфициента положительны в том или только в том случае, если значение $U$ в любом положении, достаточно близком к положению равновесия, больше, чем в самом положении равновесия. Другими словами, потенциальная энергия в положении устойчивого равновесия имеет абсолютный миним м. Это свойство представляет необходимое и достаточное условие устойчивости с рассматриваемой точки зрения ${ }^{1}$ ).

Это можно доказать и другим путем, не прибегая к предыдущему анализу.

В самом деле, если $U$ возрастает по всем направлениям, идущим из начала координат, то мы можем описать около $O$ такой замкнутый контур, чтобы в-каждой точке его величина разности $U-U_{0}$ имела определенное положительное значение $E$. Если материальная точка начинает двигаться где-либо внутри области, ограниченной таким образом, с полною энергиею, меньшею, чем $U_{0}+E$, то ее последующая траектория будет все время оставаться внутри этой области. В самом деле, если бы точка достигла границы этой области, то ее потенциальная энергия была бы $U_{0}+E$, и, следовательно, ее полная энергия превзошла бы $U_{0}+E$, что противоречит предположению ${ }^{2}$ ).

Доказательство необходимости условия обращения потенциальной энергии в минимум для того, чтобы материальная точка оставалась вблизи начала координат, не является таким простым. Однако, если имеются незначительные силы сопротивления, возникающие при движении материальной \” точки ${ }^{3}$ ), то полная энергия точки будет непрерывно уменьшаться до тех пор, пока продолжается движение. Следовательно, если точка начинает двигаться без начальной скорости из такого положения, в котором потенциальная энергия меньше, чем $U_{0}$, то полная энергия, а тем более и потенциальная энергия, будет непрерывно уменьшаться. Вследствие этого точка должна все более и более удаляться от положения равновесия $O$, если только она не остановится в некотором новом положении равновесия.
1) Случай, когда коэфициенты $a, h, b$ в разложении в ряд (3) все обращаются в нуль, здесь не рассматривается.
2) Это доказательство, применимое для любой консервативной механнческой системы. принадлежит П. Лежен-Дирихле (Р. Lejeune Dirichlct, 1846).
3) Статическое трение не рассматривается. Оно делает положения равновесия более или менее неопределенными.

ПРимЕР 1. Материальная точка притягивается несколькими центрами с силами, пропорциональными ее расстояниям $r_{1}, r_{2} \ldots$ от этих центров.
Мы можем подожить:
\[
U=\frac{1}{2}\left(K_{1} r_{1}^{2}+K_{2} r_{2}^{2}+\ldots\right) .
\]

Известно („Статика“, § 74), что имеется только одно положение точки, пля которого величина этого выражения является стационарной, а именно, центр инерции $G$ системы точек с массами, пропорииональными $K_{1}, K_{2}, \ldots$, расположенных соответственно в $O_{4}, O_{2}, \ldots$, и что $U$ обрапается в таком случае в минимум.

С другой стороны, очевидно, что результирующая всех данных сил представляет силу ( $\Sigma K) \cdot \bar{r}$, направленную к $G$, где $\bar{r}$ обозначает расстояние точки от $G$. Следовательно, материальная точка, откуда бы она ни начинала движение, будет описывать сколо $G$ эллипс с периодом
\[
2 \pi \sqrt{\frac{m}{\Sigma K}} .
\]

ПРимер 2. Материальная точка, на которую действует сила тяжести и которая может двигаться по гладкой поверхности любой формы, будет находиться в равновесии только в той точке, в которой касательная плоскость горизонтальна Если поверхность в непосредственной близости к этой точке расположена целиком выше этой плоскости, то положение равновесия будет устойчиьым; если же она расположена целиком ниже касательной плоскости, то положение равновесия булет неустойчивым. Если поверхность пересекает касательную плоскость, как в случае поверхности, имеющей вид седла, равновесие будет устойчивым для одних перемещений и неустойчивым для других и, следовательно, в целом будет неустойчивым.

Если высоту над касательной плоскостью обозначить через $z$, то мы можем положить:
\[
U=m g z .
\]

Если начало координат будет расположено в рассматриваемой точке, а $x, y$ будут горизонтальными координатами в двух главных плоскостях кривизны, то мы имеем:
\[
2 z=\frac{x^{2}}{\rho_{1}}+\frac{y^{2}}{\rho_{2}}+, \ldots,
\]

где $\rho_{1}, \rho_{2}$ будут положительными или отрицательными в зависимости от того, будут ли главные сечения, к которым они относятся, обращены кверху вогнутостью или выпуклостью [см. § $29(5)]$.