1. Материальная точка брошена вертикально вверх. Доказать, что если сопротивление воздуха постоянно и равно $\frac{1}{n}$-й части веса материальной точки, то продолжительности движения вверх и вниз будут относиться друг к другу, как $\sqrt{n-1} \times \sqrt{n+1}$.
2. Доказать, что если $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ суть отсчеты по шкалам трех последовательных точек остановки стрелки гальванометра с успокоением, то отсчет, соответствующий равновесию, будет:
\[
\frac{x_{1} x_{3}-x_{2}^{2}}{x_{1}+x_{3}-2 x_{2}} .
\]

Доказать, что при слабом успокоении это количество приближенно равно следующему:
\[
\frac{1}{4}\left(x_{1}+2 x_{2}+x_{3}\right) \text {. }
\]
3. Доказать, что если материальная точка подвержена действию силы тяжести и сопротивления, пропорционального скорости, то годограф представляет прямую линию.
4. Доказать, что если через любой конец вертикального диаметра круга провести ряд хорд, то в среде, оказывающей сопротивление движению пропорциональное скорости, время падения вдоль каждой хорды будет одинаковым.
5. Материальная точка движется по гладкой циклоиде с вертикальною осью и с вершиною, расположенною внизу. Доказать, что если, кроме силы тяжести, на точку будет действовать сопротивление, пропорциональное скорости, то колебания будут затухать, оставаясь изохронными.
6. Показать, что в задаче $\S 95$ средняя кинетическая энергия вынужденных колебаний будет иметь максимум приблизительно, когда

если величина $\frac{\boldsymbol{k}^{2}}{4 \mu}$ мала.
\[
p^{2}=\mu-\frac{1}{4} k^{2},
\]
7. Доказать, что решение уравнения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k \frac{d x}{d t}+\mu x=f(t)
\]

имеет вид:
\[
\begin{aligned}
x= & -\frac{1}{n} e^{-\frac{1}{2} k t} \cos n t \int e^{\frac{1}{2} k t} f(t) \sin n t d t+ \\
& +\frac{1}{n} e^{-\frac{1}{2} k t} \sin n t \int e^{\frac{1}{2} k t} f(t) \cos n t d t
\end{aligned}
\]

где
\[
n=\sqrt{\mu-\frac{1}{4} k^{2}} .
\]

8. Доказать, что если $k^{2}=4 \mu$, то решение предыдущего уравнения имеет вид:
\[
x=e^{-\frac{1}{2} k t} \iint e^{\frac{1}{2} k t} f(t) d t d t .
\]
9. Доказать, что в случае прямолинейного движения при действии только сопротивления, пропорционального квадрату скорости, среднее ускорение (замедление) в любом промежутке времени равно геометрическому среднему из ускорений (замедлений) в начале и в конце промежутка времени.
10. Тело-движется в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости. Доказать, что если скорость изменяется по закону:
\[
v=v_{0}(1+\alpha \cos p t),
\]

то среднее значение (за единицу времени) необходимой для движения силы в $1+\frac{1}{2} \alpha^{2}$ раз больше, чем если бы скорость была постоянна и равна $v_{0}$.

Доказать также, что средняя потеря кинетической энергии в единицу времени будет больше в $1+\frac{3}{2} a^{2}$ раз.
11. Доказать, что если скорость изменяется по закону:
\[
v=v_{0}(1+\beta \cos m x) \text {, }
\]

где $\beta$ мало, то среднее значение (за единицу времени) производящей движение сияы, меньше, чем в случае, если бы скорость была равна $v_{0}$ в $1-\frac{1}{2} \beta_{2}$, а среднее время прохождения данного расстояния больше в $1+\frac{1}{2} \beta^{2}$ раз.

Доказать, что средняя потеря кинетической энергии в единицу времени в обоих случаях одна и та же:
12. Материальная точка брошена вертикально вверх в среде, сопротивление которой пропорционально скорости, причем коэфициент трения имеет такую величину, что предельная скорость равна 90 м/сек. Точке сообщена при бросанин такая начальная скорость, что при отсутствии сопротивления точка поднялась бы до высоты $30 \mu$; найти, на какую высоту точка поднимется в действительности?
13. Пароход с водоизмещением $W$ тонн идет с полною скоростью $V$ узлов при мощности машин $H$ л. с. Доказать, что при сопротивлении движению, пропорциональном квадрату скорости, давление на винт составляет
\[
0,145 \frac{H}{V} m \text {. }
\]

Доказать, что если машины изменят ход на обратный, то пароход остановится по истечении временц
\[
\text { ๑,283 } \frac{W V^{2}}{H} \text { сек., }
\]

пройдя расстояние
\[
0,0643 \frac{W V^{3}}{H} \text { м. }
\]

Применить эти результаты для случая $W=2000 \mathrm{~m}, H=5000$ л. с., $V=20$ узлов. (Принять, что 1 узел равен 1,853 км/час.)
[45 сек., 260 м.]
14. Материальная точка совершает прямолинейные колебания около положения равновесия под действием силы, пропорциональной расстоянию от положения равновесия, и испытывает сопротивление, сообщающее отрицательное ускорение (замедление) $k \times$ (скорость) ${ }^{2}$. Доказать, что если $a, b$ суть два последовательных максимальных отклонения от положения равновесия в разные стороны, то
\[
(1+2 k a) e^{-2 k a}=(1-2 k b) e^{2 k b} .
\]

Какой будет результат, если $a$ будет бесконечно большим?

15. Доказать, что если материальная точка, начав двигаться со скоростью $v_{0}$, подвержена действию только сопротивления
\[
k v+k^{\prime} v
\]

то путь, пройденный до остановки, равен
\[
\frac{1}{k^{\prime}} \ln \left(1+\frac{k^{\prime}}{k} v_{0}\right) .
\]
16. Доказать, что если ускорение (замедление) равно $k \dot{x}^{3}$, то
\[
t=A x^{2}+B x+C,
\]

где $A, B, C$ – постоянные; определить эти постоянные из условий, что $x=x_{0}$, $\dot{x}=v_{0}$ при $t=0$.
17. Пуля, двигаясь в горизонтальном направлении, пробивает последовательно три щита, поставленных на расстоянии а друг от друга. Принимая сопротивление пропорциональным кубу скорости, доказать. что скорость во время пробиьания среднего щйта равна средней скорости за промежуток времени между моментами пробивания первого и третьего щтов.

Точно так же доказать, что если $t_{1}, t_{2}$ суть промежутки времени, протекшие между моментами прохождения через первый и ьторой щит и со.тветтвенно через второй и третий, то начальная и конечная скорости соответственно будут выражаться формулами:
\[
\frac{2 a}{3 t_{1}-t_{2}} \text { и } \frac{2 a}{3 t_{2}-t_{1}} \text {. }
\]
18. Доказать, что в предыдущей задаче пуля должна начать двигаться с таког расстояния от среднего щита, которое меньше, чем
\[
\frac{t_{1}+t_{2}}{t_{2}-t_{1}} \cdot \frac{a}{2},
\]

и премя, истекшее до момента пробивания среднего щита, должно быть меньше, чем
\[
\frac{1}{8} \frac{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}}{t_{2}-t_{1}} .
\]
19. Точка имеет отрицательное ускорение (замедление), пропорциональное кубу скорости, причем точка начинает движение с начальною скоростью $v_{\theta}$ и с начальным отрицательным ускорением (замедлением) $f$. Доказать, что путь, пройденный точкою за время $t$, выражается формулою:
\[
\frac{v_{0}^{2}}{f}\left\{\sqrt{1+\frac{2 f t}{v_{0}}}-1\right\} .
\]
20. Точка имеет отрицательное ускорение (замедление) $f(t)$ в направлении, обратном движению, вследствие чего точка останавливается в момент времени $\tau ;$ доказать, что пройденный путь будет
\[
\int_{0}^{t} t f(t) d t .
\]
21. Доказать, что при движении снаряда, каков бы ни был закон сопротивления, имеет место равенство:
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{g}{u^{2}},
\]

где $u$ есть горизонтальная скорость (оси $x, y$ имеют соответственно горизонтальное и вертикальное направления).