Другой метод заключается в принятии принципа, впервые формулированного в общей форме Даламбером ${ }^{2}$ ).

Произведение массы $m$ точки на ее ускорение представляет векторную величину, которую мы можем назвать как ээффективную силу, денствующую на точку\”. По второму закону Ньютона она должна быть равна по величине и направлению результирующей всех сил, действующих на $m$. В случае материальной точки, составляющей часть материальной системы, эти силы можно разделить на два класса, а именно, мы имеем: 1) „внешние силы “, действующие на систему извне, 2) „внутренние силы\”, или реакции, обязанные своим происхождением осталь-
4) Об этом часто упоминают, как о „гипотезе Босковича \” по имени Р.Г. Босковича (R. G. Boscovich), автора трактата по натуральной философии (Венеция 1758), в котором была изложена эта доктрина.
2) J. le R. d’Alembert (1717-1783). Принцип формулирован в его Traité de dynamique, Paris 1743 .

ным точкам системы. Рассматривая всю систему в целом, мы можем сказать, что система скользящих векторов, представляющих эффективные (действуюшие) силы, статически эквивалентна двум системам сил, а именно, системе внешних и системе внутренних сил.

Предположение, сделанное Даламбером, заключается в том, что внутренние силы сами по себе образуют систему уравновешивающихся сил. Отсюда следует, что система эффективных сил статически эквивалентна системе внешних сил ${ }^{1}$ ); в частности проекция суммы сил, действующих на все точки системы, на любое данное направление должна равняться сумме проекций внешних сил на это же направление, а сумма моментов действующих сил относительно любой оси должна равняться сумме моментов внешних сил относительно той же оси.

Чтобы выразить эти результаты аналитически, обозначим через $x, y, z$ координаты точки $m$, отнесенные к неподвижным прямоугольным осям, а через ( $X, Y, Z$ ) – внешнюю силу, действующую на эту точку. Так как компоненты эффективной силы, действующей на точку $m$, будут
\[
m \ddot{x}, m \ddot{y}, m \ddot{z}
\]

то в проекции на направление, параллельное оси $\mathrm{Oz}$, получим:
\[
\Sigma(m z)=\Sigma(Z)
\]

а взяв моменты относительно оси $O z$, будем иметь:
\[
\sum(x \cdot m \ddot{y}-y \cdot m \ddot{x})=\Sigma(x Y-y X),
\]

где суммирование распространяется на все точки системы („Статика“, $\S 60$ ). В случае непрерывного распределения материи суммирование заменяется интегрированием.
Эти уравнения можно представить в виде:
\[
\frac{d}{d t} \sum(m \dot{z})=\sum(Z),
\]

и
\[
\frac{d}{d t} \sum(x \cdot m \dot{y}-y \cdot m \dot{x})=\sum(x Y-y X) .
\]

Конечно, кроме этих уравнений мы имеем еще по два уравнения каждого из этих типов.

Так как ось $O z$ может иметь любое положение, то уравнения (3) и (4) выражают, что скорость изменения (производная по времени) проекции количества движения системы на любое данное направление равна сумме проекций внешних сил на то же направление и что скорость изменения (производная по времени) момента количеств движения системы относительно любой оси равна сумме моментов всех внешних сил относительно той же оси.

Таким образом оказывается, что какова бы ни была принятая формулировка основного предположения, мы немедленно приходим к теоре-
1) Это и представляет (возможно) первоначальную формулировку „принципа:

мам о колқчестве движения системы и о моменте количеств движения системы, формулированным выше. Следует заметить, что нами не сдегано явного или неявного ограничения о применимости вышеизложенного только к случаю твердого тела, и рассматриваемые теоремы имеют абсолютно общий характер. Особенность случая твердого тела заключается в том, что эти теоремы дают число уравнений, равное числу степеней свободы такого тела, безразлично, идет ли речь о двух или трех измерениях, и поэтому они достаточны для полного решения задач динамики, в которых рассматриваются только твердые тела. В других случаях, как, например, в гидродинамике и в теории упругих колебаний, приходится вводить вспомогательные физические гинотезы более частного вида.

В нанболее обычной формулировке принцип Даламбера утверждает. что система внешних сил находится в равновесии с системой сил, равных и прямо противоположных „эффективным “ силам. Очевидно, чтQ эта формулировка равносильна предыдущей.

Таким образом задачи динамики, хотя и несколько неестественным образом, подведены под правила статики, что представляет для нас известное удобство. Частный случай этого принципа уже известен студентам; „обратная эффективная сила“, действующая на точку $m$, описывающую с постоянною угловою скоростью круг радиуса $r$, есть просто фиктивная „центробежная сила $m \omega^{2} r$, которая находится в равновесии с действительными силами, действующими на материальную точку.

Что касается самих постулатов, то следует признать, что обе формулировки можно сильно критиковать. Гипотеза, изложенная в $\S 52$, делает динамику зависимой от частной точки зрения на микроструктуру материи. С другой стороны, против принцина Даламбера можно выставить возражение, что он выражает закон движения в виде теорем статики, тогда как рациональнее поступить таким образом, чтобы закон равновесия оказался простым следствием в применении к частному случаю общих теорем динамики ${ }^{1}$ ).

С точки зрения автора лучше постулировать, как таковые, законы о количестве движения системы и о моменте количеств движения, принимая их как естественное обобщение законов движения Ньютона, пожсняя рассматриваемые здесь законы путем таких соображений, как приведенные в главе VII, а не доказывая их. Так как введение тех или иных допущений во всяқом случае является неизбежным, то лучше ввестл их в форме, наиболее удобной для непосредственного дальнейшего применения и в то же время независимой от сомнительных гипотез.

Пример 1. Самодвижущийся экипаж приводится в движение задними колесами; требуется найти максимальное ускорение, если дан коэфициент трения $\mu$ между колесями и одеждой дороги (фиг. 43).

Пусть $M$ обозначает полную массу, $G$ – центр масс, $h$ – высоту $G$ над полотном дороги, $a$ – радиус задних колес, $c_{1}$ и $c_{2}$ – расстояния вертикали, проходящей через $G$, соответственно от передней и задней осей. Пусть $N$ есть кру-
1) В историческом отношении величайшая заслуга Даламбера заключается в том, что он ввел обший метод решения задач динамики. До того времени задачи ,динамики твердого тела\” рассматривались каждая отдельно на основе частных предположений, болеө или менее вероятных, но иногда и оспариваемых.

тящий момент, сообщаемый мотором задней оси, а $F$-сила (тяги), с которой мостовая действует на задние колеса, препятствующая буксованию (скольжению); приравнивая моменты относительно задней оси, мы имеем равенство:
\[
F a=N,
\]

если пренебречь инерцией вращения колес. Если $u$ есть скорость экипажа, то количества движения всех частей экипажа эквивалентны количеству движения системы $M u$, проходяшему в горизонтальжом направлении через $G$, в предположении, что мы пренебрегаем инерцией движущихся частей мотора. Следовательно. проектируя на горизонтальное и вертикаль ное направления, мы имеем:
\[
M \frac{d u}{d t}=F \text {, }
\]

и
\[
R_{1}+R_{2}=M g \text {, }
\]
Фиг. 43.
где $R_{1}$ и $R_{2}$ – соответственно вертикальные давления (реакции) мостовой на переднюю и заднюю пары колес. Точно так же, приравнивая моменты относительно $G$, имеем:

Следовательно,
\[
R_{\overline{2}} c_{2}-R_{1} c_{1}=F h .
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
R_{1}=\frac{M g c_{2}}{c_{1}+c_{2}}-\frac{F h}{c_{1}+c_{2}}, \\
R_{2}=\frac{M g c_{1}}{c_{1}+c_{2}}+\frac{F h}{c_{1}+c_{2}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Таким образом действие движущей силы проявляется в увеличении давления на задние колеса и в уменьшении давления на передние колеса на величину $\frac{F h}{c_{1}+c_{2}}$. Для того чтобы колеса не могли буксовать (скользить), мы должны иметь:

что дает:
\[
F \leqslant \mu R_{2}
\]
\[
F \leqslant \frac{\mu M g c .}{c_{1}+c_{2}-\mu /},
\]

и следовательно, максимальное ускорение будет:
\[
\frac{\mu g c_{1}}{c_{\mathbf{1}}+c_{2}-\mu h} \text {. }
\]

Если бы экипаж приводился в движение передними колесами, то в результате мы имели бы для максимального ускорения выражение:
\[
\frac{\mu g c_{2}}{c_{1}+c_{2}+\mu h} \text {. }
\]

Если мы переменим знак у $h$, то формула (12) дает максимальное ускорение (замедление) при торможени и задних колес, а формула (13) – максимальное ускорение (замедление) при торможении передних колес.

В качестве примера применения формулы (12) положим $c_{1}=2,4 \mu, c_{2}=1,2 \mu$, $h=0,9 \mu, \mu=\frac{1}{4}$. Результат будет $\frac{8}{45} g$ или около 1,65 м/сек 2.

ПРимЕР 2. Предположим, что экипаж приводится в действие силою $F$, действующею в горизонтальном направлении на высоте $h^{\prime}$ над землею. Если пренебречь трением в осях и инерциею вращения колес и принять, что касательные силы к колесам приложены не будут, то уравнение (8) заменится в данном случае уравнением:
\[
R_{2} c_{2}-R_{1} c_{1}=F\left(h-h^{\prime}\right) .
\]

Присоединяя к этому уравнению еще уравнение (7), получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
R_{1}\left(c_{1}+c_{2}\right)=M g c_{2}-F\left(h-h^{\prime}\right), \\
R_{2}\left(c_{1}+c_{2}\right)=M g c_{1}+F\left(h-h^{\prime}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, если $h>h^{\prime}$, то ускорение не должно превышать величины
\[
\frac{c_{2}}{h-h^{\prime}} \cdot g ;
\]

в противном случае значение $R_{\mathrm{b}}$, которое должно удовлетворять уравнению (15), было бы отрицательным, т. е. передние колеса приподнимались бы над землею: Аналогично, при останавливании экипажа ускорение (замедление) не должно превышать величины
\[
\frac{c_{4}}{h-h^{\prime}} \cdot g \text {, }
\]

при которой задние колеса начинают приподниматься над землей. Если $h<h^{\prime}$, то термины „ускорение “ и замедление в в этих формулировках должны поменяться местами, а знаменатель должен быть заменен на $h^{\prime}-h$. При очень резком толчке, сообщающем бесконечное ускорение, колеса приподнимались бы в обоих случаях, если только $h$ и $h^{\prime}$ не равны между собой.
$\checkmark$ Приме 3 . Стержень $O A$ описывает конус, образующая которого составляет угол а с вертикалью, проходящею через нижний неподвижный конец стержня; найти необходимую угловую скорость $\omega$.

Әту задачу легко можно решить при помощи фиктивных центробежных сил. Если $\mu$ есть линейная плотность на расстоянии $x$ от $O$, то центробежная сила элемента $\mu \delta x$ будет равна $\mu \delta x \cdot \omega^{2} x \sin \alpha$, а ее момент относительно $O$ будет равен $\mu \delta x \cdot \omega^{2} x \sin \alpha \cdot x \cos \alpha$. Следовательно, если $a$ есть длина стержня, $M$ – его масса и $h$-расстояние центра масс от $O$, то мы имеем равенство:
\[
\omega^{2} \sin \alpha \cos \alpha \int_{\hat{\theta}}^{a} \mu x^{2} d x=M g h \sin \alpha .
\]

Отсюда следует, что если $k$ есть радиус инерции стержня относительно $O$, то должно быть
\[
\omega^{2}=\frac{g h}{k^{2} \cos \alpha}=\frac{g}{l \cos \alpha},
\]

где $l$ – расстояние центра качания от $O$.