Рассматривая случай движения в двух измерениях, предположим, что на тело действует система мгновенных импульсов, приложенных к разным точкам, и что она эквивалентна импульсивной силе ( $\xi$, $r_{1}$ ), приложенной к центру масс $G$, и импульсивному моменту у. Как и в $\S 71$, мгновенное изменение движения определиется формулами:
\[
\left.\begin{array}{c}
M\left(u^{\prime}-u\right)=\xi, \quad M\left(v^{\prime}-v\right)=\eta, \\
\dot{I}\left(\omega^{\prime}-\omega\right)=
u .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, приращение энергии, пронзводимое импульсами, составляет:
\[
\begin{array}{c}
\left\{\frac{1}{2} M\left(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} I \omega^{\prime 2}\right\}-\left\{\frac{1}{2} M\left(u^{2}+v^{2}\right)+\frac{1}{2} I \omega^{2}\right\}= \\
=\frac{1}{2} M\left(u^{\prime 2}-u^{2}\right)+\frac{1}{2} M\left(v^{\prime 2}-v^{2}\right)+\frac{1}{2} I\left(\omega^{\prime 2}-\omega^{2}\right)= \\
=\xi \cdot \frac{1}{2}\left(u+u^{\prime}\right)+\eta \cdot \frac{1}{2}\left(v+v^{\prime}\right)+
u \cdot \frac{1}{2}\left(\omega+\omega^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Мы получили результат, равносильный тому, который получился бы. если бы мы каждую составляющую импульса умножили на среднее арифметическое из сооткетствующих проекций начальной и конечной скоростей на направления составляющих импульса. Представим себе, что то же тело в том же положении получило перемещение с компонентами для $G: \frac{1}{2}\left(u+u^{\prime}\right) \tau, \frac{1}{2}\left(v+v^{\prime}\right) \tau$ и с углом поворота $\frac{1}{2}\left(\omega+\omega^{\prime}\right) \tau$, где $\tau$ – некоторое бесконечно малое котичество, имеющее размерность времени. Тогда выражение, стоящее в последней строчке (2), будет представлять работу на этих перемещения силы $\left(\frac{\xi}{\tau}, \frac{\eta}{\tau}\right)$, приложенной к точке $G$, и момента $\frac{
u}{\tau}$. В самом деле, если $F$ есть одна из составляющих импульса, а $q, q^{\prime}$ – проекции начальной и конечной скорости точки приожения импульса на направление составляюшей $F$, то прсекция перемещения то’ки на то же направление в этом воображаемом случае будет выражаться формулою:
\[
\frac{1}{2}\left(q+q^{\prime}\right) \tau
\]

а работа силы $\frac{F}{\tau}$ будєт равна $F \cdot \frac{1}{2}\left(q+q^{\prime}\right)$. Полная работа всех таких сил системы будет соответственно равна:
\[
\sum\left\{F \cdot \frac{1}{2}\left(q+q^{\prime}\right)\right\}
\]

Этот результат можно также получить путем непосредственного внчисленин работы импульсивных сил. Простейшая схека вычисления заключается в следующем. Вообразим, что импульсивные силы заменены постоянными силами $\frac{F}{\tau}$, действующмм в течение очень короткого вғемени $\tau$. Тогда приращения (изменения) скорости, имеющие место за промежуток времени $\tau$, будут пропорциональны полному значению импульса в рассматриваемый момент и, следовательно, будут пропорциональны времени, истекшему с момента, служащего началом рассматриваемого промежутка. Проекции средних скоростей точек приложения импульсов на направления соответствующих сил будут выражаться формулою $\frac{1}{2}\left(q+q^{\prime}\right)$, а соответствующие перемещения – формулою $\frac{1}{2}\left(q+q^{\prime}\right) \tau$. Таким путем мы придем затем к выражению (3) для всей работы. Следует заметить, что мы пренебрегли изменениями скоростей, зависящими от обыкновенных конечных ускорений; это мы вправе сделать, так как интервал $\tau$ окончательно рассматривается как бесконечно малый.

Пример 1. В балистическом маятнике импульс, сообщенный маятнику, практически равен $m v$, а нцчальная скорость точки приложения импульса равна $c \omega$. Следовательно, энергия, сообщаемая маятнику, гавна $\frac{1}{2} m v c \omega$, а на основании $\S 72$, (1) она же равна $\frac{1}{2} M k^{2} \omega^{2}$. Таким образом полное уме:ьшение энергии составляет:
\[
\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} M k^{2} \omega^{2}=\frac{1}{2} m v^{2}\left(1-\frac{m c^{2}}{M k^{2}}\right) .
\]

ПримеР 2. В задаче, рассмотренной в § 71, пример 2, скорость, сообщаемая точке $C$, равна
\[
v_{2}+a \omega_{2}=\frac{7}{2} \frac{F}{M},
\]

и, следовательно, энергия, сообщаемая импульсом, составляет:
\[
\frac{7}{4} \frac{F^{2}}{M} \text {. }
\]

Если бы шарнир $B$ представлял жесткое соединение, то энергия, как это легко найти, была бы равна $\frac{F^{2}}{M}$. Это иллюстрирует общий принцип, согласно которому наложение связи на механическую систему уменьшает энергию, сообщаемую импульсом (см. § 108).