Смысл терминов, введенных нами, легче всего уяснить на нескольких примерах

На основании (1), (2) в § 86 при движении точки в плоскости мы имеем в полярных координатах:
$$T=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2\dot{{\theta }^2}).$$

Следовательно, обобщенные импульсы будут:
$$\frac{\partial T}{\partial r}=m\dot{r},\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta }}=m^2\dot{\dot{\theta }}.$$

Мы видим, что первый из них является количеством движения точки в направлении радиуса-вектора, а второй — моментом количества движения относительно начала координат.

Если через $R$ обозначить радиальную, а через $S$ перпендикулярную к ней составляющую силы, то работа силы на малом перемещении будет:
$$R\partial r+Sr\ddot{\theta }\theta$$

и соответственно обобщенные силы будут:
$$R,Sr\text{, }$$

причем последнее выражение представляет момент силы относительно начала координат.

Следовательно, уравнения движения в полярных координатах будут иметь вид:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial r}=R,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta }}\right)-\frac{\partial T}{\partial \theta }=rS.$$

Так как
$$\frac{\partial T}{\partial r}=mr{\dot{\theta }}^2,\frac{\partial T}{\partial \theta }=0,$$

то эти уравнения приводятся к таким:
$$m(\ddot{r}-r^2)=R,\frac{m}{r}\frac{d}{dr}\left(r^2\dot{\theta }\right)=S,$$

которые совпадают с (7), (8) § 86.
Далее, в случае движения на поверхности шара мы имеем:
$$T=\frac{1}{2}m{a}^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2).$$

Следовательно,
$$\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta }}=m{a}^2{\dot{\theta }}^2,\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi }}=m{a}^2\sin \theta \dot{\psi }.$$

Первое из этих выражений представляет момент количества движения относительно оси, проходящей через центр $O$ перпендикулярно к плоскости меридиана; второе выражение представляет момент количества движения относительно оси $OZ$ (фиг. 93, стр. 273).

Если $R,S$ суть компоненты силы в направлении меридиана и параллели (круга широты), идущие в сторону увеличения $\theta$ и $\varphi$, то работа силы на малом перемещении будет:
$$Ra\delta \theta +Sa\sin \theta \delta \varphi ,$$

так что обобщенные силы соответственно будут:
$$Ra\text{ и }Ra\sin \theta \text{. }$$

Следовательно, уравнения движения на поверхности шара будут иметь вид:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial T}{\partial \theta }=Ra,\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi }}-\frac{\partial T}{\partial \phi }=Sa\sin \theta ,$$

или
$$ma(\ddot{\theta }-\sin \theta \cos \theta {\dot{\psi }}^2)=R,\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{dt}(ma{\sin }^2\theta \dot{\psi })=S.$$

В случае сферического маятника, если мы совместим ось $OZ$ с вертикальным направлением вниз, то получим:
$$R=-mg\sin \theta ,S=0,$$

и уравнения движения преобразуются, как и в § 103, в следующие:
$$\ddot{\theta }-\sin \theta \cos \theta {\dot{\varphi }}^2=-\frac{g}{a}\sin \theta ,{\sin }^2\theta \dot{\varphi }=h.$$

ПРиМЕР. Материальная точка находится внутри гладкой круглой трубы раднуса $a$, вращающейся с постоянной угловой скоростью около вертикального диаметра поперечного сечения.
Полагая в (12) $R=-mg\cdot \mathrm{in}\theta ,\psi =\omega$, мы нмеем:
$$\ddot{\theta }-{\omega }^2\sin \theta \cos \theta =-\frac{g}{a}\sin \theta \text{. }$$

Иэ этого уравнения следует, что точка може ${}^{-}$находиться в относительном равновесии в положении $\theta =\alpha$ при выполнении у іовия
$$\sin \alpha ({\omega }^2\cos \alpha -\frac{g}{a})=0.$$

Это уравнение имеет очевидное решение:
$$\text{ si: }\alpha =0\text{, }$$

а если ${\omega }^{2}a>g$, то имеется и второе решение:
$$\cos \alpha =\frac{g}{{\omega }^{2}a}.$$

Чтобы исследовать устойчивость относительного равновесия, положим
$$\theta =\alpha +\xi ,$$

где $\alpha$ представляет корень уравнения (15), и предположим, что $\xi$ мало. Произведя подстановку в (14), получим:
$$\ddot{\xi }+(\frac{g}{a}\cos \alpha -{\omega }^2\cos 2\alpha )\xi =0.$$

Следовательно, положение $\alpha =0$ устойчиво только в том случае, если ${\omega }^{2}a<g$, в то время как положение $a=\pi$ всегда неустойчиво, как это и следовало ожидать. Если ${\omega }^{2}a>g$, то для промежуточного положения, определяемого формулою (17), мы имеем:
$$\ddot{\xi }+{\omega }^2{\sin }^2\alpha \cdot \xi =0.$$

Следовательно, это положение, если оно существует, является всегда устойчивым, и период малых колебаний около него будет равен
$$\frac{2\pi }{\omega \sin \alpha }\text{. }$$

Боковое давление $S$, производимое трубой на материальную точку, определяется по второму из уравнений (12).