Смысл терминов, введенных нами, легче всего уяснить на нескольких примерах

На основании (1), (2) в § 86 при движении точки в плоскости мы имеем в полярных координатах:
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta^{2}}\right) .
\]

Следовательно, обобщенные импульсы будут:
\[
\frac{\partial T}{\partial r}=m \dot{r}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=m^{2} \dot{\dot{\theta}} .
\]

Мы видим, что первый из них является количеством движения точки в направлении радиуса-вектора, а второй — моментом количества движения относительно начала координат.

Если через $R$ обозначить радиальную, а через $S$ перпендикулярную к ней составляющую силы, то работа силы на малом перемещении будет:
\[
R \partial r+S r \ddot{\theta} \theta
\]

и соответственно обобщенные силы будут:
\[
R, S r \text {, }
\]

причем последнее выражение представляет момент силы относительно начала координат.

Следовательно, уравнения движения в полярных координатах будут иметь вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial r}=R, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \theta}=r S .
\]

Так как
\[
\frac{\partial T}{\partial r}=m r \dot{\theta}^{2}, \quad \frac{\partial T}{\partial \theta}=0,
\]

то эти уравнения приводятся к таким:
\[
m\left(\ddot{r}-r^{2}\right)=R, \quad \frac{m}{r} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \dot{\theta}\right)=S,
\]

которые совпадают с (7), (8) § 86.
Далее, в случае движения на поверхности шара мы имеем:
\[
T=\frac{1}{2} m a^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=m a^{2} \dot{\theta}^{2}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}=m a^{2} \sin \theta \dot{\psi} .
\]

Первое из этих выражений представляет момент количества движения относительно оси, проходящей через центр $O$ перпендикулярно к плоскости меридиана; второе выражение представляет момент количества движения относительно оси $O Z$ (фиг. 93, стр. 273).

Если $R, S$ суть компоненты силы в направлении меридиана и параллели (круга широты), идущие в сторону увеличения $\theta$ и $\phi$, то работа силы на малом перемещении будет:
\[
R a \delta \theta+S a \sin \theta \delta \phi,
\]

так что обобщенные силы соответственно будут:
\[
R a \text { и } R a \sin \theta \text {. }
\]

Следовательно, уравнения движения на поверхности шара будут иметь вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial \theta}=R a, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=S a \sin \theta,
\]

или
\[
m a\left(\ddot{\theta}-\sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}\right)=R, \quad \frac{1}{\sin \theta} \frac{d}{d t}\left(m a \sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right)=S .
\]

В случае сферического маятника, если мы совместим ось $O Z$ с вертикальным направлением вниз, то получим:
\[
R=-m g \sin \theta, \quad S=0,
\]

и уравнения движения преобразуются, как и в § 103, в следующие:
\[
\ddot{\theta}-\sin \theta \cos \theta \dot{\phi}^{2}=-\frac{g}{a} \sin \theta, \quad \sin ^{2} \theta \dot{\phi}=h .
\]

ПРиМЕР. Материальная точка находится внутри гладкой круглой трубы раднуса $a$, вращающейся с постоянной угловой скоростью около вертикального диаметра поперечного сечения.
Полагая в (12) $R=-m g \cdot \operatorname{in} \theta, \quad \psi=\omega$, мы нмеем:
\[
\ddot{\theta}-\omega^{2} \sin \theta \cos \theta=-\frac{g}{a} \sin \theta \text {. }
\]

Иэ этого уравнения следует, что точка може ${ }^{-}$находиться в относительном равновесии в положении $\theta=\alpha$ при выполнении у іовия
\[
\sin \alpha\left(\omega^{2} \cos \alpha-\frac{g}{a}\right)=0 .
\]

Это уравнение имеет очевидное решение:
\[
\text { si: } \alpha=0 \text {, }
\]

а если $\omega^{2} a>g$, то имеется и второе решение:
\[
\cos \alpha=\frac{g}{\omega^{2} a} .
\]

Чтобы исследовать устойчивость относительного равновесия, положим
\[
\theta=\alpha+\xi,
\]

где $\alpha$ представляет корень уравнения (15), и предположим, что $\xi$ мало. Произведя подстановку в (14), получим:
\[
\ddot{\xi}+\left(\frac{g}{a} \cos \alpha-\omega^{2} \cos 2 \alpha\right) \xi=0 .
\]

Следовательно, положение $\alpha=0$ устойчиво только в том случае, если $\omega^{2} a<g$, в то время как положение $a=\pi$ всегда неустойчиво, как это и следовало ожидать. Если $\omega^{2} a>g$, то для промежуточного положения, определяемого формулою (17), мы имеем:
\[
\ddot{\xi}+\omega^{2} \sin ^{2} \alpha \cdot \xi=0 .
\]

Следовательно, это положение, если оно существует, является всегда устойчивым, и период малых колебаний около него будет равен
\[
\frac{2 \pi}{\omega \sin \alpha} \text {. }
\]

Боковое давление $S$, производимое трубой на материальную точку, определяется по второму из уравнений (12).