Орбиту материальной точки, начавшей двигаться из данной точки $P$ с заданною скоростью в данном направлении, можно построить следующим образом.

Предположим сперва, что начальная скорость меньше критической. Так как по предположению $\mu, r$ и $v$ даны, то формула
\[
v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)
\]

определит длину $2 a$ большой оси. Если описать круг радиусом $2 a$ около центра $S$ сил, то материальная точка с тою же массой, как данная точка, находящаяся в покое в любом месте этого круга, будет иметь такую же энергию, как и полная энергия рассматриваемой точки. Мы можем назвать этот круг „кругом нулевой скорости\»; он соответствует общей директриссе параболических орбит на фиг. 24,25 (§27).

Если $H$ будет второй фокус, то расстояние $H P$ определится по формуле:
\[
P H=2 a-S P .
\]

Следовательно, фокус $H$ должен находиться на круге, имеющем центр в $P$ и касающемся круга нулевой скорости. Направление $P H$ определяется на основании того, что по предположению касательная к траек

тории в точке $P$ должна быть одинаково наклонена к обоим радиусамвекторам, соединяющим точку $P$ с фокусами.

Пусть далее требуется найти направление, в котором материальная точка должна быть брошена (с заданной скоростью) из точки $P$ для того, чтобы она могла пройти через вторую заданную точку $Q$. Второй фокус должен находиться на круге, описанном около центра $Q$ и касающемся круга нулевой скорости. Если этот круг пересекает круг с центром $P$, то мы имеем два возможных положения $H, H^{\prime}$ искомой точки, причем соответствующие направления начальной скорости будут делить пополам углы, дополнительные к углам $S P H$, $S P H^{\prime}$ (фиг. 72). Если круги не пересекаются, то задача не имеет решения. В предельном случае, когда круги касаются один другого, как на фиг. 73 , точка $Q$ находится как раз на границе досягаемости из $P$. Очевидно, что точка $Q$ является в этом случае предельною точкою пересечения последовательных траекторий точек, начинающих свое движение из $P$ с заданною скоростью. Мы имеем тогда:
\[
S Q+Q P=S Q+Q H+H P=S A+A P,
\]

и следовательно, огибающая траекторий будет эллипс с фокусами в $S$ и $P$, касающийся круга нулевой скорости в точке, ближайшей к точке $P$.

Если начальная скорость $P$ превосходит критическую, то формула (1) должна быть заменена формулою
\[
v^{2}=\mu\left(\frac{2}{r}+\frac{1}{a}\right),
\]

которая определяет длину $2 a$ действительной оси. Здесь вместо (2) мы имеем:
\[
H P=S P+2 a .
\]

Это равенство вместе с направлением касательной в $P$ определяет орбиту, так как заданная касательная должна делить пополам угол между радиусами-векторами, соединяющими точку $P$ с обоими фокусами.

Если требуется, чтобы орбита проходила через вторую данную точку $Q$, то опишем около точек $P$ и $Q$, как около центров, круги радиусами соответственно $S P+2 a, S Q+2 a$. Легко видеть, что эти круги будут пересекаться всегда, давая два действительных положения второго фокуса. В этом случае все точки плоскости находятся в пределах досягаемости из $P$, и следовательно, траектории точек, начинающих свое движение из $P$ с заданною скоростью, огибающей не имеют. То, что соответствует геэметрически огибающей предыдущего случая, представляет здесь эллипс, касающийся с наружи ветвей гиперболы; конечно, он не имеет никакого динамического значения.

Если начальная скорэсть равна критическои, то направления оси и радиуса-вектора $S P$, соединяющєго точку $P$ с фокусом, образуют одинаковые углы с касательною в точке $P$. Параболическую орбиту, проходищую через две данных точки $P$ и $Q$, легко найти, описав около $P$ и $Q$, как центров, окружности, проходящие через $S$. Две общих касательных к этим кругам будут директриссами двух возможных траекторий.

Пример. В балистике, учитывающей изменение тяжести с высотою, траектория относительно центра Зеили будет коническое сечение с фокусом в центре Земли. При обычных скоростях артиллерийских снарядов будет существовать и другой фокус, причем эксцентриситет будет почти гавен единице.

Таким образом, если материальная точка будет брошена без начальной скорости из положения видимого относительного покоя с высоты $k$ над экватором, то она будет в действительности иметь начальную горизонтальную скорость $\omega(c+k)$, где $c$ есть экваториальный радиус Земли а $\omega$-угловая скорость вращения Земли. Следовательно,
\[
h=(c+k)^{2} \omega .
\]

Представим уравнение конического сечения в виде:
\[
\frac{l}{r}=1-e \cos \theta
\]

полагая $\theta=0$, мы имеем:
\[
l=(1-e)(c+k) \text {. }
\]

Следовательно, на основании формул (6), (7) и (8) время, в течение которого точка опишет около центра Земли угол $\alpha$, будет выражаться формулою:
\[
t=\frac{1}{h} \int_{0}^{a} r^{2} d \theta=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{a}\left(\frac{1-e}{1-e \cos \theta}\right)^{2} d \theta .
\]

Это равенство можно представить в виде:
\[
\omega t=\int_{0}^{\pi} \frac{d \theta}{\left(1+\frac{2 e}{1-e} \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta\right)^{2}} .
\]

Если $\alpha$ есть угол, описанный точкою до момента ее встречи с Землею, то, полагая в (7) $\theta=\alpha, r=c$ и пользуясь формулой (8), мы получим:
\[
\frac{c+k}{k}=\frac{1-e \cos \alpha}{1-e} \text {, нли } \frac{n}{6}=\frac{2 e}{1-\epsilon} \sin ^{2} \frac{1}{2} \alpha \text {, }
\]

Обычно $\frac{k}{c}$ представляет очень малую дробь, следовательно, формулу (9) можно заменить приближенною формулою:
\[
\omega t=\int_{0}^{\alpha}\left(1+\frac{k}{c} \frac{\theta 2}{\alpha^{2}}\right)^{-2} d \theta=\alpha\left(1-\frac{2 k}{3 c}\right),
\]

или
\[
\alpha=\omega t\left(1+\frac{2 k}{\delta c}\right) .
\]

Так как $\omega t$ представляет угол поворота Земли за время падения точки, то мы получаем отклонение падающей тотки к востоку от основания перпендикуляра, опущенного на Землю из начального положения точки, причем величина этого отклонения равна
\[
c(a-\omega t)=\frac{2}{3} k \omega t .
\]

Приближенно мы имеем $k=\frac{1}{2} g t^{2}$, следовательно, это отклонение можно представить в виде $\frac{\mathrm{T}}{3} \cot ^{3}{ }^{1}$ ). Например, если $t=5$ сек., что соответствует падению с высоты $122 \boldsymbol{\mu}$, то мы имеем:
\[
\frac{2}{3} \omega t \cdot \frac{1}{2} g t^{2}=0,0296 \mu .
\]

Эксцентриситет е траектории можно найти путем сравнения формул (6) и (8) с формулою
\[
h^{2}=\mu l=g^{\prime} c^{2} l,
\]

где $g^{\prime}$ представляет значение истинного (отличного от кажущегося) ускорения, производимого силою тяжести на поверхности Земли. Мы находим:
\[
1-e=\frac{\omega^{2} c}{g^{\prime}}\left(1+\frac{k}{c}\right)^{3} .
\]

Если величиною $\frac{\boldsymbol{k}}{\boldsymbol{c}}$ пренебречь, то это даст приближенное значение:
\[
e=1-\frac{1}{289}=0,9 £ 65 \text {. }
\]