Орбиту материальной точки, начавшей двигаться из данной точки $P$ с заданною скоростью в данном направлении, можно построить следующим образом.

Предположим сперва, что начальная скорость меньше критической. Так как по предположению $\mu ,r$ и $v$ даны, то формула
$$v^2=\mu (\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$

определит длину $2a$ большой оси. Если описать круг радиусом $2a$ около центра $S$ сил, то материальная точка с тою же массой, как данная точка, находящаяся в покое в любом месте этого круга, будет иметь такую же энергию, как и полная энергия рассматриваемой точки. Мы можем назвать этот круг „кругом нулевой скорости\»; он соответствует общей директриссе параболических орбит на фиг. 24,25 (§27).

Если $H$ будет второй фокус, то расстояние $HP$ определится по формуле:
$$PH=2a-SP.$$

Следовательно, фокус $H$ должен находиться на круге, имеющем центр в $P$ и касающемся круга нулевой скорости. Направление $PH$ определяется на основании того, что по предположению касательная к траек

тории в точке $P$ должна быть одинаково наклонена к обоим радиусамвекторам, соединяющим точку $P$ с фокусами.

Пусть далее требуется найти направление, в котором материальная точка должна быть брошена (с заданной скоростью) из точки $P$ для того, чтобы она могла пройти через вторую заданную точку $Q$. Второй фокус должен находиться на круге, описанном около центра $Q$ и касающемся круга нулевой скорости. Если этот круг пересекает круг с центром $P$, то мы имеем два возможных положения $H,H^{\prime }$ искомой точки, причем соответствующие направления начальной скорости будут делить пополам углы, дополнительные к углам $SPH$, $SP{H}^{\prime }$ (фиг. 72). Если круги не пересекаются, то задача не имеет решения. В предельном случае, когда круги касаются один другого, как на фиг. 73 , точка $Q$ находится как раз на границе досягаемости из $P$. Очевидно, что точка $Q$ является в этом случае предельною точкою пересечения последовательных траекторий точек, начинающих свое движение из $P$ с заданною скоростью. Мы имеем тогда:
$$SQ+QP=SQ+QH+HP=SA+AP,$$

и следовательно, огибающая траекторий будет эллипс с фокусами в $S$ и $P$, касающийся круга нулевой скорости в точке, ближайшей к точке $P$.

Если начальная скорость $P$ превосходит критическую, то формула (1) должна быть заменена формулою
$$v^2=\mu (\frac{2}{r}+\frac{1}{a}),$$

которая определяет длину $2a$ действительной оси. Здесь вместо (2) мы имеем:
$$HP=SP+2a.$$

Это равенство вместе с направлением касательной в $P$ определяет орбиту, так как заданная касательная должна делить пополам угол между радиусами-векторами, соединяющими точку $P$ с обоими фокусами.

Если требуется, чтобы орбита проходила через вторую данную точку $Q$, то опишем около точек $P$ и $Q$, как около центров, круги радиусами соответственно $SP+2a,SQ+2a$. Легко видеть, что эти круги будут пересекаться всегда, давая два действительных положения второго фокуса. В этом случае все точки плоскости находятся в пределах досягаемости из $P$, и следовательно, траектории точек, начинающих свое движение из $P$ с заданною скоростью, огибающей не имеют. То, что соответствует геэметрически огибающей предыдущего случая, представляет здесь эллипс, касающийся с наружи ветвей гиперболы; конечно, он не имеет никакого динамического значения.

Если начальная скорэсть равна критическои, то направления оси и радиуса-вектора $SP$, соединяющєго точку $P$ с фокусом, образуют одинаковые углы с касательною в точке $P$. Параболическую орбиту, проходищую через две данных точки $P$ и $Q$, легко найти, описав около $P$ и $Q$, как центров, окружности, проходящие через $S$. Две общих касательных к этим кругам будут директриссами двух возможных траекторий.

Пример. В балистике, учитывающей изменение тяжести с высотою, траектория относительно центра Зеили будет коническое сечение с фокусом в центре Земли. При обычных скоростях артиллерийских снарядов будет существовать и другой фокус, причем эксцентриситет будет почти гавен единице.

Таким образом, если материальная точка будет брошена без начальной скорости из положения видимого относительного покоя с высоты $k$ над экватором, то она будет в действительности иметь начальную горизонтальную скорость $\omega (c+k)$, где $c$ есть экваториальный радиус Земли а $\omega$-угловая скорость вращения Земли. Следовательно,
$$h=(c+k{)}^2\omega .$$

Представим уравнение конического сечения в виде:
$$\frac{l}{r}=1-e\cos \theta$$

полагая $\theta =0$, мы имеем:
$$l=(1-e)(c+k)\text{. }$$

Следовательно, на основании формул (6), (7) и (8) время, в течение которого точка опишет около центра Земли угол $\alpha$, будет выражаться формулою:
$$t=\frac{1}{h}{\int }_0^a{r}^{2}d\theta =\frac{1}{\omega }{\int }_0^a{\left(\frac{1-e}{1-e\cos \theta }\right)}^{2}d\theta .$$

Это равенство можно представить в виде:
$$\omega t={\int }_0^{\pi }\frac{d\theta }{{(1+\frac{2e}{1-e}{\sin }^2\frac{1}{2}\theta )}^2}.$$

Если $\alpha$ есть угол, описанный точкою до момента ее встречи с Землею, то, полагая в (7) $\theta =\alpha ,r=c$ и пользуясь формулой (8), мы получим:
$$\frac{c+k}{k}=\frac{1-e\cos \alpha }{1-e}\text{, нли }\frac{n}{6}=\frac{2e}{1-ϵ}{\sin }^2\frac{1}{2}\alpha \text{, }$$

Обычно $\frac{k}{c}$ представляет очень малую дробь, следовательно, формулу (9) можно заменить приближенною формулою:
$$\omega t={\int }_0^{\alpha }{(1+\frac{k}{c}\frac{\theta 2}{{\alpha }^2})}^{-2}d\theta =\alpha (1-\frac{2k}{3c}),$$

или
$$\alpha =\omega t(1+\frac{2k}{\delta c}).$$

Так как $\omega t$ представляет угол поворота Земли за время падения точки, то мы получаем отклонение падающей тотки к востоку от основания перпендикуляра, опущенного на Землю из начального положения точки, причем величина этого отклонения равна
$$c(a-\omega t)=\frac{2}{3}k\omega t.$$

Приближенно мы имеем $k=\frac{1}{2}g{t}^2$, следовательно, это отклонение можно представить в виде $\frac{\mathrm{T}}{3}{\cot }^3{}^1$ ). Например, если $t=5$ сек., что соответствует падению с высоты $122\mathit{\mu }$, то мы имеем:
$$\frac{2}{3}\omega t\cdot \frac{1}{2}g{t}^2=0,0296\mu .$$

Эксцентриситет е траектории можно найти путем сравнения формул (6) и (8) с формулою
$$h^2=\mu l=g^{\prime }{c}^{2}l,$$

где $g^{\prime }$ представляет значение истинного (отличного от кажущегося) ускорения, производимого силою тяжести на поверхности Земли. Мы находим:
$$1-e=\frac{{\omega }^{2}c}{g^{\prime }}{(1+\frac{k}{c})}^3.$$

Если величиною $\frac{\mathit{k}}{\mathit{c}}$ пренебречь, то это даст приближенное значение:
$$e=1-\frac{1}{289}=0,9\pounds 65\text{. }$$