1. Пароход идет вдоль экватора со скоростью 30 км/час. Доказать, что значение ускорения от силы тяжести, наблюдаемое на борту парохода, увеличится или уменьшится на 0,12 cм/ceк² в зависимости от того, идет ли пароход на запад или на восток.
Как отзовется движение парохода на высоте столба ртути ( 760 мм) барометра, если принять $g=978$ ?
\[
\text { [ } \pm 0,094 \text { мм. }]
\]
2. Груз подвешен при помощи двух одинаковых нитей к двум точкам, находящимся на одном и том же уровне, причем угол наклона каждой нити к вертикали равен $\alpha$. Доказать, что если одну нить перерезать, то натяжение другой мгновенно изменится в отношении $1: 2 \cos ^{2} \alpha$.
3. Груз, подвешенный при помощи двух нитей с углами наклона а и $\beta$ к вертикали, находится в равновесии. Доказать, что если обрезать вторую нить, то натяжение в первой мгновенно уменьшится в отношении
\[
\frac{\sin \beta}{\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha} .
\]
4. Колесо радиуса $a$ катится по земле. Доказать, что горизонтальная и вертикальная составляющие ускорения точки обода, находящейся на угловом расстоянии $\theta$. от наиболее низкой точки, будут соответственно равны:
\[
a(1-\cos \theta) \frac{d \omega}{d t}+a \omega^{2} \sin \theta, \quad a \sin \theta \frac{d \omega}{d t}+a \omega^{2} \cos \theta,
\]
где $\omega$ – угловая скорость.
1) Эти выводы с небольшими изменениями заимствованы нами из книги лорда Релея (Lord Rayleigh) Theory of Sounu, Cambridge $1899, \S 67$,
5. Применить формулу $\frac{v^{2}}{\rho}$ нормального ускорения для определения радиуса кривизны в вершине параболы.
То же – во всех верщинах эдлипса.
6. Точка $P$ по отношению к плоской пластинке описывает кривую с постоянною скоростью $v$. Если пластинка имеет скорость $u$, постоянную по величине и по направлению, то радиус кривизны абсолютной траектории точки $P$ будет:
\[
\frac{\left(u^{2}+2 u v \cos \theta+v^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{(u \cos \theta+v) v^{2}} \rho,
\]
где $\rho$-радиус кривизны траектории на пластинке, а $\theta$ – угол между направлениями $u$ и $v$.
7. Грузу математического маятника сообщена такая скорость, чтобы он все время вращался в одном направлении в вертикальной плоскости. Пусть будут $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ наибольшая и наименьшая угловые скорости. Доказать, что угловая скорость при угле $\theta$, образуемом маятником с вертикалью, будет выражаться формулой:
\[
\sqrt{\omega_{1}^{2} \cos ^{2} \frac{1}{2} \theta+\omega_{2}^{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta^{\prime}}
\]
а натяжение нити будет выражаться формулою:
\[
T_{1} \cos ^{2} \frac{1}{2} \theta+T_{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta,
\]
где $T_{1}$ и $T_{2}$ – максимальное и минимальное натяжения.
8. Материальная точка совершает колебания на гладкой параболе с вертикальною осью, изменяя направление своего движения на концах хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к оси. Найти давление точки на кривую при прохождении через наинизшее положение.
\[
\text { [2 } \mathrm{mg} \cdot]
\]
9. Масса 5 кг прикреплена к одному концу легкого стержня, могущего вращаться свободно около другого конца, как около неподвижной точки. Масса начинает движение из ее положения неустойчивого равновесия; найти, при каком наклоне сила, сжимающая стержень, обратится в нуль.
Найти (в технических единицах) силу, сжимающую или растягивающую стержень: 1) когда стержень занимает горизонтальное положение, 2) когда масса проходит через наинизшее положение.
10. Материальная точка движется под действием силы тяжести поб гладкой параболе, ось которой вертикальна, а вершина находится внизу. Доказать, что давление на кривую будет равно:
\[
\frac{m\left(u_{0}^{2}-g l\right)}{\rho},
\]
где $u_{0}$ – скорость в вершине, $t$ – половина параметра, $\rho$ – радиус кривизны.
11. Доказать, что если материальная точка описывает данную кривую при свободном движении под действием данных сил, то цепь, имеющая форму зтой кривой, при действии одинаковых сил (на единицу массы) о братного направления будет находиться в равновесии при условии, что линейная плотность цепи обратно пропорциональна скорости точки.
Применить это к случаю движения снаряда.
12. Доказать, что если сила, приводящая ракету в движение, и сопротивление связаны друг с другом таким образом, что скорость постоянна, то траекториею будет цепная линия (перевернутая).
13. Диск вращается около вертикальной оси с постоянною угловою скоростью ю. К точке нижней поверхности диска на расстоянии $a$ ( $<l$ ) от оси подвешен математический маятник длины $i$. Доказать, что если $\sin ^{2} \beta \doteq \frac{a}{l}$, то угол $\theta$ наклона маятника к вертикали в относительном равновесии определится при помощи уравнения:
\[
\cos \theta+\sin ^{3} \beta \operatorname{ctg} \theta=\frac{g}{\omega^{2} l} \text { : }
\]
Доказать, что если $\omega^{2}>\frac{g}{l} \sec ^{3} \beta$, то это уравнение имеет тр и корня, заключающиеся между границами – пи п; из этих трех корней два будут иметь отрицательный знак, причем один из корней будет по абсолютной величине больше, чем- $\theta$, а другой – меньше.
Иллюстрировать это чертежом.
14. Масса $m$ привязана к неподвижной точке $O$ при помощи нити, имеющей длину $l$, а масса $m^{\prime}$ привязана к массе $m$ при помощи нити длины $l^{\prime}$. Доказать, что если нити всегда находятся в вертикальной плоскости, вращающейся с постоянною угловою скоростью $\omega$, и образуют с вертикалью соответственно постоянные углы $\theta$ и $\theta^{\prime}$, то должны удовлетворяться следующие условия:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\omega^{2} l}{g}=(1+\mu) \sec \theta-\mu \operatorname{cosec} \theta \operatorname{tg} \theta^{\prime} ; \\
\frac{\omega^{2} l}{g} \sin \theta+\frac{\omega^{2} l^{\prime}}{g} \sin \theta^{\prime}=\operatorname{tg} \theta^{\prime},
\end{array}
\]
где
\[
\mu=\frac{m^{\prime}}{m} \text {. }
\]
15. Доказать, что если $\theta$ и $\theta^{\prime}$ малы, то существуют два решения предыдущей задачи, и что соответствующие значения $\omega^{2}$ определятся из уравнения:
\[
\omega^{y}-(1+\mu) g\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{l^{\prime}}\right) \omega^{2}+(1+\mu) \frac{g^{2}}{l^{\prime}}=0 .
\]
Примеры X.
Маятник; циклоида.
1. Если бы Земля перестала вращаться, секундный маятник стал бы колебаться быстрее или медленнее, чем раньше Найти, насколько он будет спешить или отставать в сутки.
2. Маятник при колебаниях с бесконечно малой амплитудой отбивает секунды. Сколько ударов в сугки он будет не добивать, еели он будет колебаться, отклоняясь на угол в $5^{\circ} \mathrm{c}$ каждой стороны вертнкали?
[41,3]
3. Маятник длины $l$ вращается в вертикальной плоскости, и его наименьшая скорость равна $\sqrt{2 g l}$. Доказать, что время, необходимое для прохождения угла 0 от наинизшего положения, определяется приближенно по формуле:
\[
\omega t=\theta-\frac{g}{\omega^{2} t} \sin \theta,
\]
где $\oplus$ – угловая скорость при горизонтадьном положении иити,
4. Доказать, что если математическии маятник достигает положения неустойчивого равновесия с нулевой скоростью то угол $\theta$ и время $t$, отсчитываемые от наинизшего подожения связаны соотношением
\[
\operatorname{tg} \frac{1}{2} \theta=\operatorname{sh} n t, \cos \frac{1}{2} \theta=\operatorname{sech} n t, \sin \frac{1}{2} \theta=\operatorname{th} n t, \operatorname{tg} \frac{1}{4} \theta=\operatorname{th} \frac{1}{2} n t,
\]
где
\[
n=\sqrt{\frac{g}{l}}
\]
5. Найти время прохождения маятником дуги в $90^{\circ}$ из наинизшего положения, если период колебаний его равен 2 сек. и он делает полный оборот, приходя в наивысшее положение с нулевой скоростью.
[0,28 сек.]
6. Математический маятник колеблется с амплитудою $a$; найти полярное уравнение годографа и начертить кривые в случаях $\alpha<\frac{1}{2} \pi, \quad \alpha=\frac{1}{2} \pi, \quad \pi>a>\frac{1}{2} \pi$.
7. Материальная точка совершает колебания на гладкой циклоиде, ияменяя направление движения в точках возврата, причем ось циклоиды вертикальна, а вершина находится внизу.
Доказать следующие свойства:
1) угловая скорость производящего круга постоянна;
2) годограф состоит из двух одинаковых кругов, касающихся один другого;
3) результирующее ускорение постоянно и равно $g$, причем его направление совпадает с направлением радиуса производящего круга;
4) давление на кривую равно $2 \mathrm{mg} \cos \phi$, где $\psi$ – угол наклона касательной к горизонту.
8. Доказать, что в случае циклоидального маятника годограф представляет инверсию конического сечения, центр которой совпадает с центром конического сечения; коническим сечением будет эллипс или гипербола в зависимости от того, будет ли максимальная скорость больше или меньше, чем $\sqrt{g l}$, где $l$-длина маятника.
9. Материальная точка находится в положении неустойчивого равновесия в вершине гладкой перевернутой циклоиды. Доказать, что если ее слегка отклонить от этого положения равновесия, то она сойдет с кривой на уровне центра производящего круга.
10. Точка под действием силы тяжести движется по гладкой кривой со скоростью, пропорциональной расстоянию (измеряемому вдоль дуги кривой) от наивысшей точки. Доказать, что кривая должна быть циклоидой.
11. Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости по гладкой кривой. Найти форму кривой и начальные данные, если расстояние, пройденное точкой по кривой за рремя $t$, равно $a$ sh $n t$.
12. Материальная точка совершает на гладкой кривой небольшие колебания около наинизшего положения с амплитудой $\beta$. Доказать, что расстояния точек, в которых происходит изменение направления движения, от наинизшей точки равны приближенно:
\[
\pm \beta+\frac{\beta^{2}}{6 \rho} \frac{d \rho}{d s} .
\]
где $\rho-$ радиус кривизны в наинизшей точке.
13. Материальная точка совершает колебания с небольшой амплитудой $\beta$ около вершины цепной линии
\[
s=a \operatorname{tg} \phi,
\]
причем вершина является наинизшей точкой. Доказать, что период колебаний приближенно равен:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{a}{g}} \cdot\left(1+\frac{3 \beta 2}{16 a^{2}}\right)
\]
14. Показать, что период малых колебаний с амплитудою $\beta$ около наинвзшей точки параболы
\[
y=\frac{x^{2}}{4 a},
\]
где ось $y$ вертикальна, приближенно равен:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{2 a}{g}} \cdot\left(1+\frac{\beta^{2}}{16 a^{2}}\right) .
\]
