Положение тердого тела, могущего только свободно вращаться около неподвижной оси, характеризуется углом $\theta$, который некоторая плоскость, проходящая через ось и занимающая в теле определенное положение, образует с начальным положением этой плоскости.

Если за время $\partial t$ этот угол изменяется на $\partial \theta$, то отношение $\frac{\partial \theta}{\partial t}$ можно назвать „среднею угловою скоростью“ тела в этом промежутке времени. Переходя к пределу, получим:
\[
\omega=\frac{d \theta}{d t}
\]

количество $\omega$ называется „угловою скоростью в момент времени $t$. Аналогично производные
\[
\frac{d \omega}{d t} \text { или } \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}
\]

можно назвать „угловым ускорением“ тела. Если ш рассматривать как функцию от $\theta$, то мы имеем:
\[
\frac{d \omega}{d t}=\frac{d \omega}{d \dagger} \cdot \frac{d \vartheta}{d t}=\omega \frac{d \omega}{d \theta} ;
\]

эта формула аналогична формуле (4) из § 2.
За время $\delta t$ точка $m$ тела, расстояние которой от неподвижной оси равно $r$; опишет путь $r \partial \theta$; следовательно, ее скорость будет равна $\frac{r d \theta}{d t}$ или $r \omega$. Количество движения этой точки будет $m \omega r$; этот вектор направлен под прямым углом к $r$ и к оси, и следовательно, его момент относительно оси будет равен $m \omega r \cdot r$ или $m r^{2} \omega$. Поэтому момент количеств движения всего тела будет выражаться формулою:
\[
\Sigma\left(m r^{2} \omega\right)=\Sigma\left(m r^{2}\right) \cdot \omega_{s}
\]

где суммирование распростран̆яется на все точки тела.
Сумма $\Sigma\left(m r^{2}\right)$ произведений масс разных точек на квадраты их расстояний от оси называется „моментом инерции“ тела относительно оси ( ССтатика“, § 70). В немногих простых случаях его значение можно найти путем интегрирования (\»Статика“, § 71, 72 ); в других случаях, когда потребуется, его значение можно определить путем динамического испытания (см. § 57).

Если обозначить через $k^{2}$ среднее значение квадрата расстояния точек от рассматриваемой оси ( $С$ Сатика\», § 70), т. е.
\[
k^{2}=\frac{\sum\left(m r^{2}\right)}{\sum(m)},
\]

то количество $k$ называется \»радиусом инерции “ тела относительно этой оси. Если $I$ есть момент инерции, а $M$-вся масса тела, то мы имеем:
\[
I=M k^{2},
\]

и момент количеств движения можно выразить в любой из форм: IФ или $M k^{2} \omega$.

Следовательно, если $N$ есть сумма моментов всех внешних сил относительно неподвижной оси вращения, то на основании теоремы о моменте количеств движения мы имеем:
\[
\frac{d}{d t}(I \omega)=N \text {. }
\]

Это уравнение можно сравнить с уравнением прямолинейного движения тела, а именно:
\[
\frac{d}{d t}(M u)=X \text {. }
\]

Оказывается, что постоянное $I$ измеряет инерцию твердого тела при вращении около данной оси так же, как $M$ измеряет его инерцию при поступательном движении.

Кинетическая энергия точки $m$ тела будет $\frac{1}{2} m(\omega r)^{2}$, а следовательно, полная кинетическая энергия тела равна
\[
\frac{1}{2} \sum\left(m \omega^{2} r^{2}\right)=\frac{1}{2} \sum\left(m r^{2}\right) \cdot \omega^{2}=\frac{1}{2} M k^{2} \omega^{2}=\frac{1}{2} I \omega^{2} .
\]

Последнее выражение также полезно сравнить с выражением, относящимся к случаю поступатедьного движения.
Умножая уравнение (7).на $\omega$, получим:
\[
I \omega \frac{d \omega}{d t}=N \omega=N \frac{d \theta}{d t} .
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} I \omega^{2}\right)=N \frac{d \theta}{d t} .
\]

Так как Nố представляет (\»Статика“, § 51) работу внешних сил̈ при повороте тела на угол $\partial \theta$, то уравнение (11) выражает, что в любой момент времени кинетическая энергия тела увеличивается со скоростью, равною скорости изменения работы, прилагаемой к телу. Интегрируя, получим, что приращение кинетической энергии за любой промежуток времени равно полной работе внешних сил за тот же промежуток времени.

Пример 1. Если других внешних сил, кроме реакций оси, нет и если момент этих реакций относительно оси равен нулю, как в случае совершенно гладких цапф, то на основании (7) мы имеем:
\[
\frac{d \omega}{d t}=0, \omega=\text { const. }
\]

Например, угловая скорость Земли при ее вращении около своей оси постоянна, если Землю рассматривать как твердое тело и считать, что ее ось вращения не изменяет своего положения.

Пример 2. Маховое колесо, могущее свободно врашаться около горизонтальной оси, поддерживает массу $m$, подвешенную при томощи вертикально висящего каната, навитого кругом оси Фиг. 44. радиуса $b$ (фиг. 44).

Пусть будут $I$ — момент инерции махового кслеса относительно его оси, $\omega$ — угловая скорость, $u$ — скорость точки $m$, направленная вниз. Взяв моменты относительно оси и пренебрегая трением, получим:
\[
I \frac{d \omega}{d t}=T b,
\]

где $T$ есть натяжение каната. Рассматривая движение массы $m$, мы имеем:
\[
m \frac{d u}{d t}=m g-T .
\]

Так как при повороте колеса на угол $о 8 t$ к прямслинейной части каната добавляется длина $b \omega^{t} t$, то
\[
u=b w .
\]

Исключая $\omega$, будем иметь:
\[
\left(\frac{I}{b^{2}}+m\right) \frac{d u}{d t}=m g ;
\]

следовательно, ускорение массы $m$ будет:

Натяжение каната равно:
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{m b^{2}}{I+m b^{2}} \cdot g \text {. }
\]
\[
T=\frac{I}{I+m b^{2}} \cdot m g \text {. }
\]