Положение тердого тела, могущего только свободно вращаться около неподвижной оси, характеризуется углом $\theta$, который некоторая плоскость, проходящая через ось и занимающая в теле определенное положение, образует с начальным положением этой плоскости.

Если за время $\partial t$ этот угол изменяется на $\partial \theta$, то отношение $\frac{\partial \theta }{\partial t}$ можно назвать „среднею угловою скоростью“ тела в этом промежутке времени. Переходя к пределу, получим:
$$\omega =\frac{d\theta }{dt}$$

количество $\omega$ называется „угловою скоростью в момент времени $t$. Аналогично производные
$$\frac{d\omega }{dt}\text{ или }\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$$

можно назвать „угловым ускорением“ тела. Если ш рассматривать как функцию от $\theta$, то мы имеем:
$$\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\omega }{d†}\cdot \frac{d\vartheta }{dt}=\omega \frac{d\omega }{d\theta };$$

эта формула аналогична формуле (4) из § 2.
За время $\delta t$ точка $m$ тела, расстояние которой от неподвижной оси равно $r$; опишет путь $r\partial \theta$; следовательно, ее скорость будет равна $\frac{rd\theta }{dt}$ или $r\omega$. Количество движения этой точки будет $m\omega r$; этот вектор направлен под прямым углом к $r$ и к оси, и следовательно, его момент относительно оси будет равен $m\omega r\cdot r$ или $m{r}^2\omega$. Поэтому момент количеств движения всего тела будет выражаться формулою:
$$\mathrm{\Sigma }\left(m{r}^2\omega \right)=\mathrm{\Sigma }\left(m{r}^2\right)\cdot {\omega }_s$$

где суммирование распростран̆яется на все точки тела.
Сумма $\mathrm{\Sigma }\left(m{r}^2\right)$ произведений масс разных точек на квадраты их расстояний от оси называется „моментом инерции“ тела относительно оси ( ССтатика“, § 70). В немногих простых случаях его значение можно найти путем интегрирования (\»Статика“, § 71, 72 ); в других случаях, когда потребуется, его значение можно определить путем динамического испытания (см. § 57).

Если обозначить через $k^2$ среднее значение квадрата расстояния точек от рассматриваемой оси ( $С$ Сатика\», § 70), т. е.
$$k^2=\frac{\sum \left(m{r}^2\right)}{\sum (m)},$$

то количество $k$ называется \»радиусом инерции “ тела относительно этой оси. Если $I$ есть момент инерции, а $M$-вся масса тела, то мы имеем:
$$I=M{k}^2,$$

и момент количеств движения можно выразить в любой из форм: IФ или $M{k}^2\omega$.

Следовательно, если $N$ есть сумма моментов всех внешних сил относительно неподвижной оси вращения, то на основании теоремы о моменте количеств движения мы имеем:
$$\frac{d}{dt}(I\omega )=N\text{. }$$

Это уравнение можно сравнить с уравнением прямолинейного движения тела, а именно:
$$\frac{d}{dt}(Mu)=X\text{. }$$

Оказывается, что постоянное $I$ измеряет инерцию твердого тела при вращении около данной оси так же, как $M$ измеряет его инерцию при поступательном движении.

Кинетическая энергия точки $m$ тела будет $\frac{1}{2}m(\omega r{)}^2$, а следовательно, полная кинетическая энергия тела равна
$$\frac{1}{2}\sum \left(m{\omega }^2{r}^2\right)=\frac{1}{2}\sum \left(m{r}^2\right)\cdot {\omega }^2=\frac{1}{2}M{k}^2{\omega }^2=\frac{1}{2}I{\omega }^2.$$

Последнее выражение также полезно сравнить с выражением, относящимся к случаю поступатедьного движения.
Умножая уравнение (7).на $\omega$, получим:
$$I\omega \frac{d\omega }{dt}=N\omega =N\frac{d\theta }{dt}.$$

или
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}I{\omega }^2\right)=N\frac{d\theta }{dt}.$$

Так как Nố представляет (\»Статика“, § 51) работу внешних сил̈ при повороте тела на угол $\partial \theta$, то уравнение (11) выражает, что в любой момент времени кинетическая энергия тела увеличивается со скоростью, равною скорости изменения работы, прилагаемой к телу. Интегрируя, получим, что приращение кинетической энергии за любой промежуток времени равно полной работе внешних сил за тот же промежуток времени.

Пример 1. Если других внешних сил, кроме реакций оси, нет и если момент этих реакций относительно оси равен нулю, как в случае совершенно гладких цапф, то на основании (7) мы имеем:
$$\frac{d\omega }{dt}=0,\omega =\text{ const. }$$

Например, угловая скорость Земли при ее вращении около своей оси постоянна, если Землю рассматривать как твердое тело и считать, что ее ось вращения не изменяет своего положения.

Пример 2. Маховое колесо, могущее свободно врашаться около горизонтальной оси, поддерживает массу $m$, подвешенную при томощи вертикально висящего каната, навитого кругом оси Фиг. 44. радиуса $b$ (фиг. 44).

Пусть будут $I$ — момент инерции махового кслеса относительно его оси, $\omega$ — угловая скорость, $u$ — скорость точки $m$, направленная вниз. Взяв моменты относительно оси и пренебрегая трением, получим:
$$I\frac{d\omega }{dt}=Tb,$$

где $T$ есть натяжение каната. Рассматривая движение массы $m$, мы имеем:
$$m\frac{du}{dt}=mg-T.$$

Так как при повороте колеса на угол $о8t$ к прямслинейной части каната добавляется длина $b{\omega }^{t}t$, то
$$u=bw.$$

Исключая $\omega$, будем иметь:
$$(\frac{I}{b^2}+m)\frac{du}{dt}=mg;$$

следовательно, ускорение массы $m$ будет:

Натяжение каната равно:
$$\frac{du}{dt}=\frac{m{b}^2}{I+m{b}^2}\cdot g\text{. }$$
$$T=\frac{I}{I+m{b}^2}\cdot mg\text{. }$$