В случае движения по гладкой кривой в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (фиг. 33) проекции сил будут:
\[
\mathfrak{T}=-m g \sin \phi, \quad \mathfrak{N}=-m \mathrm{~g} \cos \phi+R,
\]

где $\phi$ обозначает угол наклона к горизонту касательной, проведенной в направлении увеличения $s$, а $R$ давление, производимое кривой, которое считается положительным, когда оно действует в направлении к центру кривизны. Следовательно, уравнения движения будут:
\[
m v \frac{d v}{d s}=-m g \sin \phi, \quad \frac{m v^{2}}{\rho}=-m g \cos \psi+R .
\]

Если мы проведем оси ‘ $x$ и $y$ соответственно в горизонтальном и вертикальном направлениях и положительное направление оси $у$ будем считать вниз, то мы будем иметь:
\[
\cos \psi=\frac{d x}{d s}, \quad \sin \psi=\frac{d y}{d s},
\]

и, следовательно,
\[
m v \frac{d v}{d s}=-m g \frac{d y}{d s}
\]

Отсюда получаем:
\[
\frac{1}{2} m v^{2}+m g y=\text { const, }
\]

что можно получить и непосредственно на основании принципа сохранения энергии, так как реакция гладкой кривой не производит работы. Формула (5) обычно применяется в виде:
\[
v^{2}=C-2 g y .
\]

Госле определения произвольного постоянного второе из уравнений (2) определит давление $R$.

Пример 1. Пусть кривая представляет параболу с вертикальною осью, обращенную вогнутостью вниз. Как известно, такую параболу точка может описывать при свободном движении, если точка на\”нет двигаться надлежащим образом.
Если $v^{\prime}$ относится к свободному движению, то мы на основании (2) имеем:
\[
\frac{m v^{\prime 2}}{\rho}=-m g \cos \phi .
\]

Следовательно, если скорость точки при несвободном движении обозначить через $v$, то мы будем иметь:
\[
R=\frac{m\left(v^{2}-\eta^{\prime}\right)}{\rho} .
\]
1) Огклонение от шаровой симметрии получилось первоначально из-за вращения.

Но на основании (6)
и, следовательно,
\[
\begin{array}{c}
v^{\prime 2}=C^{\prime}-2 g y, \\
R=\frac{m\left(C-C^{\prime}\right)}{\rho},
\end{array}
\]
т. е. нормальное давление пропорционально кривизне.

Этот результат легко обобщить на случай движення материальной точки под действием произвольных сил по гладкой кривой такой формы, какую может описать точка при свободном движении под действием тех же сил, но при надлежащих начальных условиях.

ПРимеР 2. Найти колебания магериальной точки, подвешенной к нити, навернутой на горизонтальный круглый цилиндр (фиг. 34).

Если обозначить радиус цилиндра через $a$, длину свешивающейся вертикальной части нити – через $l$, то потенциальная энергия при положении нити, отклоненной на угол $\theta$, будет:
\[
U=m g[a \sin \theta-(l+a \theta) \cos \theta]+m g l,
\]

предполагая при этом, что нулевое значение $U$ соответствует значению $\theta=0$. Следовательно, уравнение энергии будет:
\[
\frac{1}{2} m v^{2}+m g[a \sin \theta-(t+a \theta) \cos \theta]+m g l=\frac{1}{2} m v_{0}^{2},
\]

где $v_{0}$ обозначает скорость точки во время прохождения через наинизшее положение. Для малых значений $\theta$ с точностью до членов порядка $\theta 4$ это равенство сводится к следующему приближенному равенству:
\[
v^{2}=v_{0}^{2}-g\left(\iota \theta^{2}+\frac{2}{3} a \theta^{3}\right) .
\]

Чтобы найти положения, в которых скорость равна нулю, мы должны положить $v=0$. Предполагая, что максимальные отклонения нити незначительны, мы для сравнения с круговым маятником положим:
\[
n^{2}=\frac{g}{l}, \quad v_{0}=n l a ;
\]

тогда уравнение (13) при $v=0$ примет вид:
Фиг. 34.
\[
\theta^{2}+\frac{2 a}{3 l} \theta^{2}=a^{2} .
\]

Уравнение (15) можно решить приближенно; так, в качестве первого приближения мы имеем $\theta= \pm \alpha$, а в качестве второго
\[
\theta^{2}=\alpha^{2} \mp \frac{2}{3} \frac{a}{l} a^{3},
\]

откуда
\[
\theta= \pm \alpha\left(1 \mp \frac{1}{3} \frac{a \alpha}{l}\right) \text {. }
\]

Отсюда следует, что колебания будут несимметричными, но будут захватывать одинакоыые расстояния по обе стороны от положения
\[
0-\frac{1}{3} \frac{a a^{2}}{l} \text {. }
\]