Говорят, что механическая система имеет $n$ \”степеней свободы“, если для указания положения ее разных частей необходимы и достаточны $n$ независимых переменных. Эти переменные называются „обобщенныи координатами“ системы. Так, например, положение материальной точки, движущейся по сферической поверхности, можно определить ее широтой и долготой; положение двойного маятника на фиг. 64 характеризуется углами ${ }^{\circ} \theta$, $\varphi$; положение твердого тела, движущегося в двух измерениях, можно определить, как в § 63 , двумя координатами его центра масс и углом, на который он повернулся из некоторого определенного положения, и т. д.

Общая теория консервативной системы, имеющей одн у степень свободы, рассмотрена в § 65. Так как в этом случае мы имеем только одну координату,’то уравнение энергии вместе с начальными условиями полностью определяет движение.

Если мы перендем к системам с большим числом степеней свободы, то уравнение энергии уже недостаточно, и придется обратиться к другим теоремам динамики. В случае системы, имеющей две степени свободы, в частности, если движение происходит в двух измерениях, добавочное требуемое уравнение в фэрме, не содержащей неизвестных реакций, иногда может дать теорема о моменте количеств движения. Мы имели пример решения задачи таким методом в теории центральных сил (§76,84).

В качестве другого примера мы можем рассмотреть случай движения материальной точки по гладкой поверхности врашения под действием одной реакции поверхности. Так как работа этой реакцйи равна нулю, то скорость $v$ постоянна. Далее, так как направление реакции пересекает ось симметрии, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Чтобы выразить это аналитически, обозначим через $r$ расстояние движущейся точки от оси, а через $\varphi$-угол, образуемый направлением движения с параллелью. Скорость можно разложить на составляющие $v \cos \varphi, v \sin \varphi$, направленные соответственно вдоль параллели и вдоль меридиана; из этих двух составляющих только одна первая имеет момент относительно оси. Следовательно, так как величина $v$ постоянна, должно быть
\[
r \cos \varphi=\text { const. }
\]

Это равенство представляет диференциальное уравнение первого порядка, служащее для определения траектории.

Так как $\cos \varphi$ не может превышать единицы, то в каждом отдельном случае для значения $r$ имеется нижний предел. Например, если поверхность похожа на эллипсоид вращения и если точка пересекает экватор (радиус которого обозначим, например, через $a$ ) под углом $a$, то мы имеем:
\[
r \cos \varphi=a \cos \alpha ;
\]

следовательно, траектория расположена между двумя параллельными кругами радиуса $a \cos a$, которых она последовательно касается.

Так как на точку действует только одна сила, которая проходит в направлении нормали, то это направление должно быть вместе с тем и направлением результирующего ускорения, В § 34 было указано, что это результирующее ускорение всегда расположено в соприкасающейся плоскости траектории. Из этого следует, что точка движется по поверхности вдоль \”наикратчайшей“ траектории, или, согласно терминологии диференциальной геометрии, точка описывает \”геодезическую линию\”.

ПРимер. Материальная точка несколько отклонена от экватора выпуклой поверхности вращения, вдоль которого происходит ее движение. Изучить возмущение.

Если мы обозначим через $z$ расстояние точки от плоскости экватора, через $a$ – радиус экватора и через $p$ – радиус кривизны меридиана в точке пересечения его с эқватором, то мы имеем:
\[
-r=\frac{z^{2}}{2 p} \text {. }
\]

в предположении, что $z$ мало. Из этого следует, что величиной $\dot{r}$ в сравнении с $\dot{z}$ можно пренебречь. Если мы обозначим долготу через $\theta$, так что $r, \theta$ представляют полярные координаты проекции двнжущейся точки на плоскость экватора, то произведение
\[
r^{2} \dot{\theta}=h
\]

на основании теоремы о моменте количества движения должно быть постоянно. Далее, если пренебречь $\dot{r}^{2}$, то
\[
v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}+\dot{z}^{2}=\dot{z}^{2}+\frac{h^{3}}{r^{2}} .
\]

Делая подстановку из (3), мы получим приближенно:
\[
v^{2}=\dot{z}^{2}+\frac{h^{2}}{a^{2}}\left(1-\frac{z^{2}}{2 \rho a}\right)^{-2}=\dot{z}^{2}+\frac{h^{2}}{a^{2}}\left(1+\frac{z^{2}}{\rho a}\right) .
\]

Следовательно, полагая
\[
h=a^{2} \omega,
\]

мы имеем:
\[
\dot{z}^{2}+\frac{\omega^{2} a}{p} z z=\text { const. }
\]

откуда
\[
\ddot{z}+\frac{\omega^{2} a}{\rho} z=0 .
\]

Таким образом изменения количества $z$ будут соответствовать простому гармоническому колебанию с периодом
\[
\frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{\frac{p}{a}} .
\]

За полпериода точка описывает около оси угол $\pi \sqrt{\frac{p}{a}}$ (приближенно).

В случае эллипсоида, если длина оси симметрии равна $2 b$, мы имеем $\rho=\frac{b^{2}}{a}$, и угол будет $\pi \frac{b}{a}$. Следовательно, расстояние между двумя последовательными точками пересечения траектории с экватором равно $\pi b$.