Результат сложения двух простых гармонических колебаний, происходящих вдоль одной и той же прямой, дает движение, представляющее ортогональную проекцию эпициклического движения. Это следует из геометрических соображений, изложенных в $\S 10$, или из формулы (4), выведенной в $\S 23$.

Если угловые скорости $n, n^{\prime}$ равны и имеют одинаковый знак, то оба складываемых колебания имеют один и тот же период. Угол $Q O Q^{\prime}$ на фиг. 20 будет постоянный, траектория точки $P$ является круговой; результирующее колебание будет простым гармоническим того же периода.

Но если $n$ и $n^{\prime}$ не равны между собою, то угол $Q O Q^{\prime}$ может принимать все значения, и длина $O P$ будет изменяться между пределами $a \pm a^{\prime}$. В „приливных часах лорда Кельвина параллелограм $O Q P Q^{\prime}$ состоит из соединенных шарнирами рычагов, причем „плечи “ $O Q$ и $O Q^{\prime}$ делают полный оборот соответственно в течение половины лунных и половины солнечных суток. Если их длины будут сделаны пропорциональными амплитудам лунного и солнечного полусуточного приливов, то проекция точки $P$ на прямую линию, проходящую через точку $O$, даст высоту прилива, обусловленную совместным действием обоих приливов.

Если угловые скорости $n, n^{\prime}$ почти, но не в точности, равны, то угол $Q O Q^{\prime}$ в течение одного оборота $O Q$ или $O Q^{\prime}$ будет изменяться очень незначительно, и результирующее колебание можно считать
1) Их объяснение при помощи гипотезы эпициклического движения было дано Птоломеем Александрийским (168г. нашей эры) в его сочинении Аль Магест.

с известным приближением за простое гармоническое колебание, амплитуда которого изменяется между пределами $a \pm a^{\prime}$. Период изменения амплитуды (биений) равен промежутку времени, в течение которого одно плечо параллелограма описывает относительно другого четыре прямых угла $(2 \pi)$, и следовательно, этот период равен $2 \pi\left(n-n^{\prime}\right)$. Другими словами, частота биений $\frac{n-n^{\prime}}{2 \pi}$ равна разности частот двух первичных колебаний.

В качестве иллюстрирующего примера мы можем указать на чередование больших приливов и отливов с самой низкой водой, которые получаются, когда фазы лунной и солнечной полусуточных составляющих соответственно совпадают или противоположны. В акустике мы имеем явление биений двух простых тонов почти одной и той же высоты.
Прилагаемый чертеж показывает кривую, выражающую зависимость перемещения от времени (график пути) для случая $a=2 a^{\prime}, 9 n==10 n^{\prime}$.
Конечно, биения заметны лучше всего в том случае, когда амплитуды первичных колебаний между собой равны. Тогда амплитуда результирующего колебания будет изменяться между 0 и $2 a$.
Аналитически мы имеем:

где
\[
x=a \cos \theta+a^{\prime} \cos \theta^{\prime},
\]
\[
\theta=n t+\varepsilon, \quad \theta^{\prime}=n^{\prime} t+s^{\prime} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
x=\left(a+a^{\prime}\right) \cos \frac{1}{2}\left(\theta+\theta^{\prime}\right) \cos \frac{1}{2}\left(\theta-\theta^{\prime}\right)-\left(a-a^{\prime}\right) \sin \frac{1}{2}\left(\theta+\theta^{\prime}\right) \sin \frac{1}{2}\left(\theta-\theta^{\prime}\right) .
\]

Если мы положим
\[
\left.\begin{array}{l}
r \cos \varphi=\left(a+a^{\prime}\right) \cos \frac{1}{2}\left(\theta-\theta^{\prime}\right), \\
r \sin \varphi=\left(a-a^{\prime}\right) \sin \frac{1}{2}\left(\theta-\theta^{\prime}\right),
\end{array}\right\}
\]

то мы сможем представить формулу (3) в виде:
\[
x=r \cos \left[\frac{1}{2}\left(\theta+\theta^{\prime}\right)+\varphi\right],
\]

причем значения $r$ и $\varphi$ определяются по формулам:
\[
\begin{array}{c}
r^{2}=a^{2}+2 a a^{\prime} \cos \left(\theta-\theta^{\prime}\right)+a^{\prime 2}, \\
\operatorname{tg} \varphi=\frac{a-a^{\prime}}{a+a^{\prime}} \operatorname{tg} \frac{1}{2}\left(\theta-\theta^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Если $n$ и $n^{\prime}$ почти равны между собою, то формулу (5) можно рассматривать как характеризуюшую простое гармоническое колебание, амплитуда котоporo $r$ медленно изменяется между пределами $a+a^{\prime}$ и $a-a^{\prime}$, причем одновременно происходит также и медленное изменение фазы. Изменение амплитуды показано пунктирными линиями на фиг. 22.