Результат сложения двух простых гармонических колебаний, происходящих вдоль одной и той же прямой, дает движение, представляющее ортогональную проекцию эпициклического движения. Это следует из геометрических соображений, изложенных в $\mathrm{\S }10$, или из формулы (4), выведенной в $\mathrm{\S }23$.

Если угловые скорости $n,n^{\prime }$ равны и имеют одинаковый знак, то оба складываемых колебания имеют один и тот же период. Угол $QO{Q}^{\prime }$ на фиг. 20 будет постоянный, траектория точки $P$ является круговой; результирующее колебание будет простым гармоническим того же периода.

Но если $n$ и $n^{\prime }$ не равны между собою, то угол $QO{Q}^{\prime }$ может принимать все значения, и длина $OP$ будет изменяться между пределами $a\pm a^{\prime }$. В „приливных часах лорда Кельвина параллелограм $OQP{Q}^{\prime }$ состоит из соединенных шарнирами рычагов, причем „плечи “ $OQ$ и $O{Q}^{\prime }$ делают полный оборот соответственно в течение половины лунных и половины солнечных суток. Если их длины будут сделаны пропорциональными амплитудам лунного и солнечного полусуточного приливов, то проекция точки $P$ на прямую линию, проходящую через точку $O$, даст высоту прилива, обусловленную совместным действием обоих приливов.

Если угловые скорости $n,n^{\prime }$ почти, но не в точности, равны, то угол $QO{Q}^{\prime }$ в течение одного оборота $OQ$ или $O{Q}^{\prime }$ будет изменяться очень незначительно, и результирующее колебание можно считать
1) Их объяснение при помощи гипотезы эпициклического движения было дано Птоломеем Александрийским (168г. нашей эры) в его сочинении Аль Магест.

с известным приближением за простое гармоническое колебание, амплитуда которого изменяется между пределами $a\pm a^{\prime }$. Период изменения амплитуды (биений) равен промежутку времени, в течение которого одно плечо параллелограма описывает относительно другого четыре прямых угла $(2\pi )$, и следовательно, этот период равен $2\pi (n-n^{\prime })$. Другими словами, частота биений $\frac{n-n^{\prime }}{2\pi }$ равна разности частот двух первичных колебаний.

В качестве иллюстрирующего примера мы можем указать на чередование больших приливов и отливов с самой низкой водой, которые получаются, когда фазы лунной и солнечной полусуточных составляющих соответственно совпадают или противоположны. В акустике мы имеем явление биений двух простых тонов почти одной и той же высоты.
Прилагаемый чертеж показывает кривую, выражающую зависимость перемещения от времени (график пути) для случая $a=2a^{\prime },9n==10n^{\prime }$.
Конечно, биения заметны лучше всего в том случае, когда амплитуды первичных колебаний между собой равны. Тогда амплитуда результирующего колебания будет изменяться между 0 и $2a$.
Аналитически мы имеем:

где
$$x=a\cos \theta +a^{\prime }\cos {\theta }^{\prime },$$
$$\theta =nt+\epsilon ,{\theta }^{\prime }=n^{\prime }t+s^{\prime }\text{. }$$

Следовательно,
$$x=(a+a^{\prime })\cos \frac{1}{2}(\theta +{\theta }^{\prime })\cos \frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime })-(a-a^{\prime })\sin \frac{1}{2}(\theta +{\theta }^{\prime })\sin \frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }).$$

Если мы положим
$$\begin{array}{l}r\cos \phi =(a+a^{\prime })\cos \frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }),\\ r\sin \phi =(a-a^{\prime })\sin \frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }),\end{array}\}$$

то мы сможем представить формулу (3) в виде:
$$x=r\cos [\frac{1}{2}(\theta +{\theta }^{\prime })+\phi ],$$

причем значения $r$ и $\phi$ определяются по формулам:
$$\begin{array}{c}{r}^2=a^2+2a{a}^{\prime }\cos (\theta -{\theta }^{\prime })+a^{\prime 2},\\ \mathrm{tg}\phi =\frac{a-a^{\prime }}{a+a^{\prime }}\mathrm{tg}\frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }).\end{array}$$

Если $n$ и $n^{\prime }$ почти равны между собою, то формулу (5) можно рассматривать как характеризуюшую простое гармоническое колебание, амплитуда котоporo $r$ медленно изменяется между пределами $a+a^{\prime }$ и $a-a^{\prime }$, причем одновременно происходит также и медленное изменение фазы. Изменение амплитуды показано пунктирными линиями на фиг. 22.