В § 22 было указано, что уравнения движения, полученные для неподвижных осей координат, сохраняют свой вид и в том случае, если оси имеют постоянную поступательную скорость. Иначе будет обстоять дело, если оси имеют вращательное движение.

Чтобы показать это, выведем уравнения, отнесенные к (прямоугольным) осям, вращающимся около начала координат с угловою скоростью $\boldsymbol{\omega}$. Пусть положения осей в момент времени $t$ будут $O x, O y$, а в момент времени $t+\delta t$ их положения будут $O x^{\prime}, O y^{\prime}$; следовательно, угол $x O x^{\prime}$ равен $\omega \delta t$ (фиг. 30 ). Положение $P$ движущейся точки в момент времени $t$ характеризуется ее координатами $x, y$ относительно осей $O x, O y$, а положение $P^{\prime}$ той же точки в момент времени $t+\delta t$ характеризуется ее коор6 Лачб. Дчваихк.

динатами $x+\delta x, y+\delta y$, относящимися к осям $O x^{\prime}, O y^{\prime}$. Следовательно, по отношению к осям $O x, O y$ координаты точки $P^{\prime}$ согласно известным формулам преобразования координат будут:
\[
\begin{array}{l}
(x+\delta x) \cos \omega \cdot \delta t-(y+\delta y) \sin \omega \delta t, \\
(x+\delta x) \sin \omega \cdot \delta t+(y+\delta y) \cos \omega \partial t .
\end{array}
\]

Пренебрегая малыми величинами второго порядка, будем иметь:
\[
x+\delta x-\omega y \delta t, \quad y+\delta y+\omega x \delta t,
\]

так что для проекций $P P^{\prime}$ на оси $O x, O y$ окончательно получим:
\[
\delta x-\omega y \delta t, \quad \delta y+\omega x \delta t .
\]

Следовательно, проекции скорости точки $P$, параллельные осям $O x$ и $O y$, соответственно будут:
\[
u=\frac{d x}{d t}-\omega y, \quad v=\frac{d y}{d t}+\omega x .
\]

Если $O V, O V^{\prime}$ суть векторы, представляющие скорость в моменты времени $t$ и $t+\delta t$, то для нахождения проекций $V V^{\prime}$ на оси $O x, O y$ можно применить тот же метод. Таким образом, если мы обозначим через $u+\delta u, v+\delta v$ проекции $O V^{\prime}$ на оси $O x^{\prime}, O y^{\prime}$, то проекции $V V^{\prime}$ на оси $O x, O y$ аналогично (1) будут:
\[
\delta u-\omega v \delta t, \quad \delta v+\omega u \delta t .
\]

Следовательно, проекции ускорения будут:
\[
\alpha=\frac{d u}{d t}-\omega v, \quad \beta=\frac{d v}{d t}+\omega u .
\]

Если угловая скорость $\omega$ постоянна, то после подстановки значений $u, v$ из (2) в (4) мы получим:
\[
\alpha=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d y}{d t}-\omega^{2} x, \quad \beta=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \omega \frac{d x}{a t}-\omega^{2} y .
\]

Следовательно, уравнения движения относительно вращающихся осей будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d y}{d t}-\omega^{2} x\right)=X, \\
m\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \omega \frac{d x}{d t}-\omega^{2} y\right)=Y,
\end{array}\right\}
\]

где $X$ и $Y$ обозначают проекции силы на направления, параллельные мгновенным направлениям осей.
Если эти уравнения представить в виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{x}=X+m \omega^{2} x+2 m \omega \dot{y}, \\
m \ddot{y}=Y+m \omega^{2} y-2 m \omega \dot{x},
\end{array}\right\}
\]

то интерпретация их непосредственно вытекает из вида самих уравнений. Уравнения показывают, что на материальную точку кроме силы $(X, Y)$ действуют некоторые дополнительные фиктивные силы Прежде всего в уравнения входят количества $m \omega^{2} x, m \omega^{2} y$, которые являются проекциями фиктивной \”центробежной силы\” $m \omega^{2} r$, где $r$ обозначает расстояние точки от начала координат. К центробежной силе добавляется фиктивная сила, проекции которой будут:
\[
2 m \omega \dot{y}=2 m \dot{\omega} \sin \psi, \quad-2 m \dot{\omega} x=-2 m \omega s \cos \psi,
\]

где $\phi$ есть угол касательной подвижной траектории (т. е. траєктории относительно вращающихся осей) с осью $x$. Величина этой силы равна $2 m \omega \dot{s}$, а ее направление определяется по направлению, которое примет относительная скорость $s$ после поворота ее на прямой угол в сторону, противоположную той, которой соответствует угловая скорость $\omega^{1}$ ).

Если мы умножим уравнения (7) соответственно на $\dot{x}, \dot{y}$ и сложим, то получим:
\[
m(\dot{x} \ddot{x}+\dot{y} \ddot{y})=X \dot{x}+Y \dot{y}+m \omega^{2}(x \dot{x}+y \dot{y}),
\]

откуда, интегрируя по $t$, будем иметь:
\[
\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\int(X \dot{x}+Y \dot{y}) d t+\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+C .
\]

Если сила $(X, Y)$ создается полем, врацающимся без изменения вместе с осями координат, то мы можем заменить определенный интеграл в правой части интегралом
\[
\int(X d x+Y d y) \text {. }
\]

Если потенциальную энергию, создаваемую этим полем, обозначить через $U$, то ми будем иметь:
\[
\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+U-\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\text { const; }
\]

эго – новая форма для уравнения энергии.
Мы видим, что выражение
\[
U-\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right),
\]

последний член которого можно назвать потенциальной энергией, относяцейся к центробежной силе, играет здесь такую же роль, как и потенциальная энергия в стационарном силовом поле.

Пример 1. Если точка находится в покое, то ее относительное движение относительно вращающихся осей будет определяться уравнениями:
\[
\dot{x}=\omega y, \quad \dot{y}=-\omega x .
\]

Следовательно,
\[
\ddot{x}=\omega \dot{y}=-\omega^{2} x ;
\]
1) Эта фиктивная сила была названа Г. Кориолисом (G. Coriolls, 1831) ,сложною центробежною силою\” для отличия от \”обыкновенной центробежной силы\” $m \omega^{2} r$.

решение этого уравнения будет
\[
x=c \cos (\omega t+\varepsilon) .
\]

Далее, первое из уравнений (12) дает:
\[
y=\frac{1}{\omega} \dot{x}=c \sin (\omega t+\varepsilon) .
\]

Следовательно,
\[
x^{2}+y^{2}=c^{2}, \quad \frac{y}{x}=-\operatorname{tg}(\omega t+\varepsilon) .
\]

Таким образом относительная траектория представляет круг, описываемый с постоянною скоростью в направлении, обратном тому, которому соответствует вращение с угловой скоростью ш, как это ясно и непосредственно.

ПРимер 2. Если маятник Блекберна заставить вращаться с угловою скоростью $\omega$ около вертикали, проходящей через точку $E$ (фиг.29, стр. 73), то уравнения дв:жения, отнесенные к горизонтальным осям, из которых одна перпендикулярна к вертикальной плоскости, проходящей через $A, B$, а другая лежит в ней, будут иметь внд:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}-2 \omega \dot{y}-\omega^{2} x=-p^{2} x, \\
\ddot{y}+2 \omega \dot{x}-\omega^{2} y=-q^{2} y
\end{array}\right\}
\]

где
\[
p^{2}=\frac{g}{C P}, q^{2}=\frac{g}{E P} .
\]

Этим уравнениям удовлетворяют функции:

при условиях
\[
x=A \cos (n t+\varepsilon), \quad y=B \sin (n t+\varepsilon)
\]
\[
\begin{array}{l}
\left(n^{2}+\omega^{2}-p^{2}\right) A+2 n \omega B=0, \\
2 n \omega A+\left(n^{2}+\omega^{2}-q^{2}\right) B=0 .
\end{array}
\]

Исключая отношение $\frac{A}{B}$, получим:
\[
\left(n^{2}+\omega^{2}-p^{2}\right)\left(n^{2}+\omega^{2}-q^{2}\right)-4 n^{2} \omega^{2}=0,
\]

или
\[
n^{4}-\left(p^{2}+q^{2}+2 \omega^{2}\right) n^{2}+\left(p^{2}-\omega^{2}\right)\left(q^{2}-\omega^{2}\right)=0 .
\]

Это – квадратное уравнение относительно $n^{2}$. Квадрат разности корней равен:
\[
\left(p^{2}+q^{2}+2 \omega^{2}\right)^{2}-4\left(p^{2}-\omega^{2}\right)\left(q^{2}-\omega^{2}\right)=\left(p^{2}-q^{2}\right)^{2}+8 \omega^{2}\left(p^{2}+q^{2}\right),
\]

и так как эта величина положительна, то оба корня будут вещественными. С другой стороны, произвеление обоих корней положительно до тех пор, пока м $^{2}$ заключается в пределах между $p^{2}$ и $q^{2}$. Так как сумма корней положительна, то мы выводим заклютение, что пока $\omega^{2}$ находится между $p^{2}$ и $q^{2}$, оба значения $n^{2}$ будут положительными, и мы будем иметь два независимых решения следующего вида:

и
\[
\begin{array}{ll}
x=A_{1} \cos \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right), & y=B_{1} \sin \left(n_{1} t+\varepsilon_{1}\right), \\
x=A_{2} \cos \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right), & y=B_{2} \sin \left(n_{2} t+\varepsilon_{2}\right),
\end{array}
\]

где отношения $\frac{B_{1}}{A_{1}}$ и $\frac{B_{2}}{A_{2}}$ определяются при помощи любого из уравнений (20), в которое должно быть подставлено соответствующее значение для $n$.

Так как диференциальные уравнения линейные, то их решения можно складывать; таким путем мы получим полние решение, так как оно будет заключать в себе четыре произвольных постоянных $A_{1}, A_{2}, \varepsilon_{4}, \varepsilon_{2}$

Если значение $\omega^{2}$ выходит из вышеуказанных границ, то одно из значений $n^{2}$ (например $n_{1}^{2}$ ) будет все еще полохительным, и решение (24) все еще бухет действительным. Другое же решение будет иметь вид:
\[
x=C e^{\lambda t}+C^{\prime} e^{-\lambda t}, \quad y=D e^{\lambda t}+D^{\prime} e^{-\lambda t} ;
\]

дальнейшее решение задачи предоставляем читателю.
Отсюда мы можем вывести заключение, что вертикальное положение маятника будет устойчивым до тех пор, пока период $\frac{2 \pi}{\omega}$ вращения будет заключаться между свободными периодами $\frac{2 \pi}{p}, \frac{2 \pi}{q}$ колебания маятника при отсутствии врашения. Это заключение, однако, должно быть изменено в случае действия диссипативных сил (см. §96).