186. Иррациональные неравенства.
При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:
Т.6.8. Если обе части неравенства на некотором множестве X принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.
Рассмотрим неравенство вида 
Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства 
и решением неравенства 
(из неравенства (1) следует, что 
Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств
Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе 
Итак, неравенство 
равносильно системе неравенств
Рассмотрим теперь неравенство вида 
Как и выше, заключаем, что 
но в отличие от предыдущего случая здесь 
может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев: 
. Получим совокупность систем
В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.
В итоге приходим к следующему результату: неравенство 
равносильно совокупности двух систем:
Пример 1. Решить неравенство 
Решение. Это неравенство равносильно следующей системе неравенств:
Решив систему, находим 
Пример 2. Решить неравенство 
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего неравенства той же системы.
Решив первую систему, получим 
из второй системы
мы получаем 
Объединив найденные решения, получим 
