ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК

Для обеспечения сопротивления усталости лопаток уровень переменных напряжений в них должен быть достаточно низким. Повышенные переменные напряжения возникают в лопатках, в основном на резонансных режимах, когда частота внешних возбуждающих сил совпадает с одной из собственных частот колебаний лопатки. Практическое значение имеют частоты до 10 000 - 15 000 Гц, а в редких случаях и более высокие.

Для отстройки от резонансов важно уже на стаднн проектирования правильно определять собственные частоты колебаний лопаток, особенно первую (низшую) частоту нзгнбных колебаний, связанную с деформацией лопаткн относительно оси минимальной жесткости.

Приближенный расчет основной частоты колебаний. Лопатку рассматривают как консольный стержень переменного сечения с непрерывно распределенной массой (рис. 22), совершающий гармонические колебания в плоскости меньшей жесткости (см. рис. 7). В приближенном расчете закрученностью пренебрегают. Смещение осн лопаткн в сеченин

где — амплитуда смещения; — круговая частота колебаний, время.

Рис. 22. К расчету нзгибных колебаний лопатки

Частота колебаний, Гц,

Скорость движения лопатки в данном сечении

Кинетическая энергия всей лопатки в данный момент времени

где — масса единицы длины лопатки.

Внутренняя потенциальная энергия всей лопаткн при деформации нзгнба в данный момент времени

где изгибающий момент относительно оси

минимальной жесткости ; — упругая кривизна оси лопатки.

По закону сохранения энергии при свободных колебаниях полная энергия остается постоянной для любого момента времени, что возможно только при равенстве или

откуда вытекает формула для частоты собственных колебаний лопаткн (формула Релея)

Если внести в эту формулу приближенные значения Для удовлетворяющие условиям закрепления, то при точном вычислении интегралов частота получается больше действительной.

Из формулы (54) следует.

1. Если амплитудный прогиб увеличивается в k раз, частота колебаний не изменяется (величина k войдет и в числитель, и в знаменатель)

2. Для увеличения частоты колебаний следует увеличить жесткость сечения на изгиб в районе заделки, где кривизна упругой линии наибольшая, и уменьшить плошадь сечения у конца лопатки, где наибольшие прогибы Т).

Рис. 23 Изменение площади и момента инерции по длине лопатки

3. Частота зависит от отношения которое для большинства конструктивных материалов (стали, алюминия, титана и др.) изменяется мало и составляет см/с; поэтому частота изгибных колебаний почти не зависит от материала лопатки.

В качестве приближенного значения для можно принять прогиб лопатки постоянного сечения от действия распределенной нагрузки

Примем степенной закон распределения площадей и моментов инерции по длине лопатки (рис. 23):

где

Подставив равенства (55). (56) в формулу (54), получим

где — безразмерный коэффициент (табл. 4). Здесь .

При очень большой «конусности» меньшие, а следовательно. и лучшие значения для X дает функция

что учтено при составлении табл. 4.

Для лопатки постоянного сечения ,

(кликните для просмотра скана)

Рис. 24. Отношение момента инерции и площади сечення в середине лопатки к их значениям в корневом сечении

Для выбора показателей тип можно ориентироваться на отношения которые соответствуют определенным значениям тип (рис. 24) Если значения неизвестны, можно в среднем принимать

Пример. Найти основную частоту колебаний для лопатки длиной см с размерами корневого сечения (см рис. 13) см и концевого см при линейном изменении толщины и стрелы изогнутости сечений По формулам (28), (29) находим.

По рис. 24 устанавливаем, что . По табл. 4 для этих значений путем линейной интерполяции для находим значение По формуле (57)

Уточненный расчет собственных частот. Более точио собственные частоты колебаний лопатки могут быть рассчитаны методом последовательных приближений. Дифференциальное уравнение колебаний лопатки в плоскости меньшей жесткости имеет вид

при граничных условиях для жестко заделанной в замке лопатки в заделке

на свободном конце

Интегрируя обе части равенства (59) в пределах от до найдем с учетом второго условия (61)

Повторяя интегрирование с учетом первого условия (61), получим

Перенося в правую часть равенства и дважды интегрируя в пределах от 0 до , находим с учетом условий (60)

Уравнение (62) решают методом последовательных приближений. Так, для приближения

где под выражением понимают переменный интеграл в правой части уравнения (62), вычисляемый по уже известным значениям

В качестве исходной функции можно принять произвольную функцию, удовлетворяющую условиям закрепления (60), например функцию (58).

После вычисления значение квадрата частот в приближении можно найти из условия наилучшей близости функций и для чего составляем выражение для средней квадратической ошибки «с весом»

и из условия ее минимума находим

Найдя определяем по уравнению значение Процесс решения, как правило, быстро сходится (после двух-трех приближений). В результате расчета определяют не только первую собственную частоту, но и эпюру относительных прогибов при колебаниях по первой форме, что позволяет найти эпюры относительных изгибающих моментов

и относительных динамических напряжений

При тензометрировании лопаток тензодатчики наклеивают в сечении, где о максимально.

Методом последовательных приближений с использованием условий ортогональности рассчитывают также более высокие собственные частоты и формы колебаний

Колебания вращающихся лопаток. Центробежные силы, создавая растяжение лопатки, повышают собственную частоту ее колебаний. При колебаниях лопатки в поле центробежных сил эти силы совершают работу в результате чего потенциальная энергия увеличивается на величину Если прогиб лопаткн в плоскости минимальной жесткости равен то на элемент лопатки будут действовать силы (рис. 25, а):

где

Здесь — угловая скорость — частота вращения ротора,

Рис. 25. (см. скан) К расчету работы центробежных сил при колебаниях лопатки

Работа этих сил для всей лопатки

Множитель 0,5 во втором члене правой части равенства (67) связан с тем, что сила увеличивается пропорционально перемещению у. Перемещение сечения в радиальном направлении

так как согласно рис. 25, б

Из выражений (66)-(68) и (51) следует:

Добавляя величину Пп к выражению потенциальной энергии деформации изгиба (53), получим для слабо закрученной лопатки вместо (54) следующую формулу:

где — частота невращающейся лопатки, Гц, определяемая формулой (54); В — коэффициент,

— число оборотов в с.

Коэффициент В можно определить, задавшись приближенно формой прогиба например, согласно формуле (58).

Для лопатки постоянного сечения

где

Для лопатки с линейным изменением площади при задании формы прогибов согласно формуле (55)

где

При это дает

Формулой (73) приближенно можно пользоваться и при других значениях а также для расчета лопатой со степенным законом изменения площяпрй при .

При колебаниях в плоскости вращения влияние центробежных сил на увеличение частоты проявляется слабее, чем при колебаниях в осевой плоскости ).

Для турбинных лопаток учитывают влияние снижения модуля упругости с повышением температуры, что приводит к снижению частоты (см. ниже рис. 45, б). Так как величина В не зависит от упругих свойств лопатки, то собственную частоту вращающейся турбинной лопатки определяют по вытекающей из (69) формуле

где — модули упругости материала лопатки соответственно при нормальной и рабочей температуре.