ИЗГИБ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

В основе расчета лежит кривая деформирования (рис. 28), представляющая собой зависимость устанавливаемую из опытов на растяжение. конструкционных сталей эта зависимость имеет такой же вид и при сжатии.

Для расчета обычно используют схематизированную диаграмму деформирования, показанную на рис. 29. Первая прямая соответствует упругим деформациям вторая прямая проходит через точки, соответствующие

Рис. 28. Диаграмма деформирования

пределу текучести и пределу прочности . Угол наклона значительно меньше угла а и для расчета вторая прямая иногда представляется горизонтальной линией, как показано на рис. 30 (кривая деформирования без упрочиения).

Наконец, если рассматриваются значительные пластические деформации, то участками кривых, соответствующих упругому деформированию, в практических расчетах можно пренебречь. Тогда схематизированные кривые деформирования имеют вид, показанный на рис. 31

Распределение напряжений изгиба при упругопластических деформациях. Для упрощения задачи рассмотрим стержень прямоугольного сечения и предположим, что кривая деформирования не имеет упрочиения (см. рис. 30).

Рис. 29. Схематизированная кривая деформирования

Рис. 30. Кривая деформирования без упрочнения

Если изгибающий момент таков, что наибольшее напряжение изгиба (рис. 32), то стержень работает в области упругой деформации

При дальнейшем возрастании изгибающего момента в крайних волокнах стержня возникают пластические деформации. Пусть при данном значении пластическими деформациями охвачена область от до . В этой области . При напряжения изменяются по линейному закону

Из условия равновесия момент внутренних сил

откуда

Рис. 31. Кривая деформирования при больших пластических деформациях

Рис. 32. (см. скан) Изгиб стержня прямоугольного сечения в упругопластической стадии

Если бы материал оставался упругим при любых напряжениях, то наибольшее напряжение

превышало бы предел текучести материала.

Напряжения при идеальной упругости материала показаны на рис. 32. С учетом пластической деформации напряжения, превосходящие предел текучести для идеально упругого тела, снижаются. Если эпюры распределения напряжений для действительного материала я для идеально упругою материала Сличаются одна от другой (при одних и тех же нагрузках), то в теле после снятия внешней нагрузки возникают остаточные напряжения, эпюра которых представляет собой разность эпюр упомянутых напряжений. В местах наибольших напряжений остаточные напряжения противоположны по знаку напряжениям а рабочих условиях.

Предельный пластический момент. Из формулы (51) следует, что при

величина , т. е. все сечение стержня находится в области пластической деформации.

Изгибающий момент, при котором во всех точках сечения возникают пластические деформации, называют предельным пластически и моментом. Распределение напряжений изгиба по сечению в этом случае показано на рис. 33.

В области растяжения в области сжатия . Так как из условия равновесия то нейтральная линия делит сечение на две равновеликие (по площади) части.

Для прямоугольного сечения предельный пластический момент

Рис. 33. Распределение напряжений при действии предельного пластического момента

Изгибающий момент, при котором возникает пластическая деформация только в крайних волокнах,

Отношение пластического момента сопротивления к обычному (упругому) моменту сопротивления для прямоугольного сечения

Для двутаврового сечеиия при изгибе в плоскости наибольшей жесткости это отношение составляет для тонкостенного трубчатого —1,3; для сплошного круглого сечеиия 1,7.

В общем случае величину при изгибе в плоскости симметрии сечеиия можно определить следующим способом (рис. 34); разбить сечение линией на две равновеликие (по площади) части. Если расстояние между центрами тяжести этих частей обозначить через то

где — площадь поперечного сечения; — расстояние от центра тяжести какой-либо половины сечения до центра тяжести всего сечения (точку О находит на равном расстоянии от точек

Предельный разрушающий момент. Изгибающий момент, при котором в какой-либо точке сечения возникает напряжение, равное пределу прочности материала, называют предельным разрушающим моментом.

Рис. 34. К определению

Рис. 35. Распределение напряжений при действии разрушающего момента

При определении разрушающего момента будем исходить из кривых деформирования для полностью пластичного материала с упрочнением (см. рис. 31).

Рассмотрим сначала стержень прямоугольного сечения. Распределение изгибающих напряжений показано на рис. 35. В крайних волокнах напряжение равно Напряжение на расстоянии у от оси

Из условия равновесия разрушающий момент

или

где пластическии и упругий моменты сопротивления соответственно

Равенство (54) справедливо для любого поперечного сечения, имеющего две оси симметрии. Приближенно можно считать, что оно справедливо и для сечеиия с одной осью симметрии.

Это равенство можно записать в другом виде:

Например, для стержня прямоугольного сечення при получаем При выводе формулы для пренебрегали изменением сечения стержня в процессе деформации.