ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ

Метод Байеса. Метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, является весьма эффективным, так как позволяет достаточно просто одновременно учитывать признаки различной физической природы — дискретные и непрерывные. Эго достигается благодаря использованию единообразных и безразмерных характеристик признаков — частот встречаемости (вероятностей) признаков при различных состояниях.

Если имеется диагноз и простой признак то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния и признака )

Из последнего соотношения получим

где в последнем равенстве — вероятность диагноза после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака (апостериорная вероятность диагноза);

вероятность диагноза определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза). Если обследовано объектов и состояние наблюдается в изделиях, то

вероятность появления у объектов с состоянием Если среди объектов с диагнозом появился признак то

— вероятность появления признака во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа признак обнаружен объектов (с различным диагнозом!). Тогда

Как будет ясно из дальнейшего, специальное вычисление не требуется.

Пусть проводится обследование ряда признаков многоразрядным признакам и К означает определенную реализацию комплекса признаков. При этом в каждом из признаков К) появляется один из разрядов, иапример в признаке разряд

Обобщенная формула Байеса (для комплекса многоразрядных признаков)

Здесь — вероятность диагноза если комплекс признаков К получил реализацию .

Формула (8) относится к любому из состояний. Предполагается, что система находится в одном (и только в одном) из указанных состояний и потому

Вероятность появления комплекса признаков по формуле полной вероятности (комплекс признаков проявляется обязательно с одним из диагнозов)

Теперь формула Байеса может быть представлена в окончательном виде

Если комплекс признаков содержит признаков, то

где — разряд признака выявившийся после обследования. Для независимых признаков

Если при данном диагнозе некоторые признаки, например оказываются зависимыми, то

Тогда в равенство (13) вместо произведения двух первых членов следует внести

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей.

Диагностическая матрица. Для определения вероятности диагноза (состояния) следует составить диагностическую матрицу (таблицу).

Диагностическая матрица для многоразрядных признаков

(см. скан)

В ней помещаются условные вероятности признаков и априорные вероятности диагнозов.

Рассмотрим применение метода Байеса при наличии диагностических параметров, распределенных непрерывно. Тогда для каждого из диагнозов должна быть известна плотность распределения Если для данного объекта получили значение то вероятность появления в интервале содержащем точку будет равна

Величина будет в числителе и знаменателе выражения и не повлияет на результат. Для учета непрерывного признака в диагностической матрице должны содержаться плотности вероятности. В практических задачах часто используют нормальное распределение, для которого плотность вероятности задается двумя параметрами — средним значением и средним квадратическим отклонением.

В диагностической матрице для признака указаны параметры соответствующего нормального распределения. Тогда при использовании формулы Байеса следует принять

Таким образом, метод Байеса можно применять и в том случае, когда часть из параметров задана с помощью непрерывного распределения.

В некоторых случаях оказывается удобным провести замену непрерывного распределения многоразрядным признаком, что не изменяет общего метода расчета.

Решающее правило.

Предъявленный для распознавания объект, обладающий комплексом признаков К, считают принадлежащим диагнозу если

т. е. вероятность диагноза оказалась наибольшей.

Сумма вероятностей всех диагнозов

Однако если вероятность не слишком велика (например, меньше то следует отказаться от постановки диагноза. Поэтому решающее правило можно сформулировать следующим образом:

где — пороговое значение для диагноза (обычно принимают

Пример. Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяют два признака: повышение температуры газа за турбиной более чем на увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с.

Предположим, что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние ), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние При нормальном состоянии двигателя (состояние ) признак не наблюдается, а признак наблюдается в 5% случаев. На основании статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояние и 15% — состояние . Известно также, что признак встречается при состоянии в 20%, а при состоянии — в 40% случаев; признак при состоянии встречается в а при состоянии — в 50% случаев. Сведем все эти данные в таблицу:

Найдем сначала вероятность состояний двигателя, когда обнаружены оба признака: Для этого, считая признаки независимыми, примем формулы (11), (13):

аналогично получим

Определим вероятность состояний двигателя, если обследование показало, что при отсутствии признака признак наблюдается. Отсутствие признака есть признак наличия (противоположное событие), причем

Для расчета применяют также формулу (11), но значения заменяют на Получим

и аналогично

Вычислим вероятности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют:

Вероятности состояний отличны от нуля, так как рассматриваемые признаки не являются детерминирующими.

Из приведенных расчетов можно установить, что при наличии в двигателе с вероятностью 0,91 имеется состояние , т. е. увеличение радиального зазора. При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,92). При отсутствии признака и наличии признака вероятности состояний примерно одинаковы (0,47 и 0,41) и для уточнения состояния двигателя требуется проведение дополнительных обследований.

Преимущества и недостатки метода Байеса. Некоторые преимущества метода Байеса указывались ранее. Главное из них — возможность оценки вероятности всех состояний системы на основании использования широкого набора признаков различной природы.

Основной недостаток метода Байеса — необходимость получения

большой предварительной информаций (составление диагностической матрицы).

Применению метода Байеса должна предшествовать статистическая обработка данных эксплуатации и в некоторых случаях специальные исследования, имитирующие неисправности (например, изменение вибраций двигателя, собранного с дефектной лопаткой и т. п.).

Другой недостаток метода Байеса — «угнетение» редких диагнозов.

Так как решение зависит от — априорной вероятности диагноза, то при малых значениях должна быть очень большая вероятность данной реализации комплекса признаков.

Это объясняется тем, что в основной расчетной формуле (11) в качестве множителя стоит и потому данная реализация комплекса признаков для редкого диагноза должна иметь очень высокую вероятность и малую — при других диагнозах, чтобы величина оказалась наибольшей.

Для компенсации этого недостатка проводят расчет, предполагая все априорные вероятности диагнозов одинаковыми:

Это позволяет выяснить, для какого состояния наиболее характерна рассматриваемая реализация комплекса признаков.