ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебания этого внда связаны с изгибной деформацией стержней (например, колебания груза на несущих балках, колебания лопаток турбин и осевых компрессоров и т. д.).
Одномассовая система. Рассмотрим колебания груза на невесомом стержне (рис. 15).
Уравнение движения массы
где сила упругости
В этом равенстве а — прогиб балки (в месте приложения груза) под действием единичной силы (коэффициент податливости).
Из уравнения (27) получаем
Рис. 15. Иэгибные колебания одномассовой системы
Круговую частоту изгибных колебаний определяют по формуле
Это равенство справедливо для любой одно массовой системы; груз может быть расположен между опорами или консольно, различие только в величине а.
Решение уравнения (29) при произвольных начальных условиях будет таким
где 
— амплитуда колебаний; 
— сдвиг фазы, зависящий от начальных условий.
Если подставить это соотношение в уравнение (29), то получим
Последнее равенство можно истолковать следующим образом: сила упругости — 
равна инерционному усилию 
иными словами — амплитудный прогиб 
вызывается силой ргтуа. Статическая аналогия состоит в том, что вместо колебаний рассматривают амплитудные колебания системы, вызванные амплитудными величинами инерционных сил 
представляет собой инерционную силу в крайнем положении системы).
Двухмассовая система. Пусть балка несет две массы 
(рис. 16).
Амплитудный прогиб создаемся усилиями 
поэтому
где коэффициенты податливости означают: 
— прогиб в сеченни 
от единичной снлы, приложенной в том же сечении; 
прогиб в сечении 
от единичной силы, приложенной в сеченин 
— прогиб в сечеиии
2—2 от единичной силы, приложенной в сечении 
прогиб в сечении 2—2 от единичной снлы, приложенной в том же сечении.
Коэффициенты податливости могут быть определены с помощью интеграла Мора.
Из условия взаимности для упругих систем следует:
Уравнения (30) можно записать в виде
Отсюда находим
Приравнивая эти отношения, получаем условие для определения собственной частоты (характеристическое уравнение):
Рис. 16. Изгибкые колебания двухмассовой системы
Из последнего уравнения получены два значения частоты 
:
Низшей частоте 
соответствует форма колебания, когда обе массы двигаются в одну сторону; частоте 
соответствует движение масс в разные стороны. Если система имеет 
сосредоточенных масс, то она обладает таким же числом частот и форм колебаний 
причем каждой частоте соответствует своя форма колебаний (распределение амплитудных отклонений по массам).
Изгибные колебания стержией постоянного сечения. Задача имеет точное решение Частоты колебаний определяют по формуле
где 
безразмерный коэффициент, зависит от формы колебаний (наименьшая частота соответствует первой форме колебаний 
и от условий закрепления. Значения Приведены в табл. 1; 
— номер формы колебаний 
длина стержня; Е — модуль упругости материала; 
— момент инерции сечения стержня; 
— масса единицы длины стержня
Если стержень не имеет равномерно распределенных присоединенных масс, то
где 
плотность материала стержня; 
площадь поперечного сечения.
Частота колебаний, Гц,
Изгибные колебаиия колец. Рассмотрим изгибные колебания кольца постоянного сечения с равномерно распределенными массами.
Плоские колебания кольца с двумя узловыми диаметрами показаны на рис. 17, а.
Круговую частоту колебаний определяют по формуле
где 
— число узловых диаметров (номер формы колебаний, 
; 
— радиус кольца, 
— жесткость сечения на изгиб в плоскости кольца, 
— масса единицы длины.
Для колебаний, перпендикулярных к плоскости кольца (рис 17, б), будем иметь
где 
— жесткость сечения кольца на чрученне; 
жесткость сессии на изгпб относительно главной оси, лежащей в плоскости кольца. Остальные обозначения те же, что и в формуле (35).
Рис. 
Колебания колрц с равномерно распределенными присоединенными мае» сами
(кликните для просмотра скана)
Поперечные колебания струны. Круговую частоту поперечных колебаний струны определяют; по формуле
где 
— номер формы колебаний 
длина струны; Н — сила натяжения струны; 
— масса единицы длины струны.
