ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ

Глава 30. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

КРИТЕРИИ СТАТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ

Для оценки статической прочности при сложном напряженном состоянии используют критерии прочности или разрушения, зависящие от напряженного и деформированного состояния, а также механических свойств материала. Эти критерии позволяют перенести результаты опытов по разрушению образцов при простых напряженных состояниях на случай сложных напряженных состояний. В курсах сопротивления материалов их называют теориями или гипотезами прочности.

Условие статической прочности или разрушения удобно представить в виде

где — Эквивалентное иапряже ние; — главные напряжения, причем — параметры, зависящие от механических свойств материала; — предел прочности материала при одноосном растяжении.

Эквивалентное напряжение устанавливает соответствие между сложным напряженным состоянием и одноосным растяжением.

Если в наиболее иапряженной точке детали

то условие прочности считают выполненным. При

наступает разрушение в опасной точке. Условие является граничным для состояния прочности и разрушения. Условие прочности или разрушений можно представить через деформации

где — главные деформации — параметры, зависящие от механических свойств материала, — удлинение в момент разрушения при одноосном растяжении.

Критерии статической прочности для пластичных материалов. Для пластичных материалов условия прочности при растяжении и сжатии совпадают. Разрешение таких материалов определяется преимущественно касательными напряжениями. Основными критериями разрушения являются критерий интенсивности напряжений, выражающий «среднее» касательное напряжение в точке, и критерий максимального касательного напряжения.

Критерий интенсивности напряжений (критерий Губера—Мизеса).

Для этого критерия условие прочности

Рис. 1. (см. скан) Эллипс напряжений

Рис. 2. (см. скан) Напряжения при кручении образца

где интенсивность напряжений

нормальные и касательные напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, нормали к которым обозначены

Для плоского напряженного состояния, когда отличны от нуля компоненты

Если оси совпадяют с главными осями напряженного состояния

Последнее соотношение не зависит от обозначения главных осей. Если, например,

В частном случае плоского напряженного состояния

Критерий интенсивности напряжений (6) для плоского случая выражается эллипсом (рис. 1).

Если точка находится внутри эллипса, условие прочности соблюдается, при переходе за пределы области наступает разрушение.

Для случая кручення главные напряжения

где — касательное напряжение в поперечном сечении (рис. 2, площадки главных напряжений направлены под углом 46° к оси вала). Отсюда, с учетом условий (5) и следует связь предела прочности при кручении и растяжении:

Это соотношение соответствует экспериментальным данным для пластичных материалов.

Критерий максимальных касательных напряжений. В соответствии с этим критерием условие прочности

где соответственно наибольшее (в алгебраическом смысле) и наименьшее напряжение.

Если главные напряжения не упорядочены по величине, то критерий прочности имеет вид

Для плоского напряженного состояния критерий максимальных касательных напряжений выражается шестиугольником, вписанным в эллипс. Как следует из рис. 1, оба критерия Слизки между собой.

Для случая кручения получаем

Критерии пластичности. Критерии возникноьения пластической деформации при слежном напряженном состоянии, как показали экспериментальные исследования, часто имеют такую же структуру, как и критерии разрушения, но величина заменяется на предел текучести .

Например, критерий пластичности Губера—Мизеса имеет вид

Развитие пластических деформаций, вплоть до разрушения путем среза, определяется в основном действием касательных напряжений. Перед разрушением могут возникнуть существенные изменеиия первоначальной формы детали, что следует учитывать при составлении условий разрушения.

В тех случаях, когда деформации стеснены и возникает объемное напряженное состояние, создаются условия, благоприятные и хрупкого разрушения. Для оценки прочности подобных состояний приведенные критерии малопригодны.

Например, при равномерном всестороннем растяжении критерии (6) и (13) прогнозируют бесконечную прочность, что не соответствует физическому смыслу задачи.

В связи с указанным условия прочности

по уравнениям (6) и (13) должны быть дополнены ограничением на величину наибольших растягивающих напряжений

Тогда общее условие прочности пластичных материалов получит вид

где — знак конъюнкции (знак логического умножения, т. е. одновременного осуществления двух событий).

Общее условие разрушения

где V — знак дизъюнкции (знак логического суммирования, осуществление одного из событий или обоих событий вместе).

Критерии статической прочности для хрупких (малопластичных) материалов. Одно из важных свойств хрупких материалов — прочность при сжатии выше, чем при растяжении. Ответственными за разрушения являются преимущественно нормальные напряжения.

Критерий максимального нормального напряжения. В соответствии с этим критерием условие прочности имеет вид

Возможность разрушения в области сжимающих напряжений отрицается.

Для случая действия касательных напряжений (кручения)

где — разрушающее касательное напряжение.

Критерий максимальной деформации растяжения. По этому критерию условие прочности принимают в виде

где — наибольшая деформация растяжения, — деформация в момент

разрушения при растяжении образцов.

Для хрупких материалов принимают

где Е — модуль упругости материала Далее предполагают, что в момент разрушения

Критерий прочности по максимальной деформации растяжения, выраженный в напряжениях, с учетом соотношений (24) и (25) будет

Область прочности по этому критерию также простирается в бесконечность при сжимающих напряжениях.

Критерий прочности Мора. В соответствии с этим критерием условие разрушения зависит как от касательных, так и от нормальных напряжений в опасной площадке Эквивалентное напряжение может быть записано в виде

где — постоянные материала.

Применим выражение (27) к условию разрушения сгэкв для случая растяжения и сжатия. Так как при растяжении при сжатии — абсолютная величина предела прочности материала при сжатии, то получим соответственно

Из последних соотношений определяем постоянные материала

Условие прочности Мора приобретает вид

или

где

Величина характеризует пластичность материалов, для очень хрупких материалов Если то условие Мора совпадает с условием максимальных касательных напряжений.

На рис. 3 граница области прочности для критерия прочности Мора составляет неправильный шестиугольник

Для случая кручения, когда из условия (29) предел прочности при срезе

или

Критерий прочности Писаренко — Лебедева. Рассматриваемый критерий может быть получен, если представить

где — постоянные материала; — соответственно интенсивность напряжений и наибольшее напряжение.

Применяя условие разрушения

для случая растяжения и сжатия, найдем

Из последних соотношений получаем

и критерий прочности Писаренко—Лебедева приобретает вид

При этот критерий совпадает с критерием Сдобырева.

Для случая кручения при

Граница области прочности по критерию Писаренко—Лебедева представляет собой неправильный эллипс,

Рис. 3. (см. скан) Области прочности при для различных отношений

описанный относительно шестиугольника Мора (см. рис. 3).

Критерий Надаи. Эквивалентное напряжение представляется в виде

Применяя критерий для растяжения и сжатия, найдем

Из последних соотношений получаем условие прочности

где — интенсивность напряжения, — главные напряжения. Для прочности при кручении (срезе) из условия (37) находим

Наиболее общими условиями прочности являются условия Мора и Писаренко—Лебедева, которые при (пластичный материал) переходят соответственно в критерий максимальных касательных напряжений или интенсивности напряжений. При (очень хрупкий материал) критерий Мора и Писаренко—Лебедева совпадают с критерием наибольших нормальных напряжений.

Однако при использовании критериев Мора или Писаренко—Лебедева

требуется знание двух пределов прочности материала при растяжении и сжатии. Если величина сгсж не известна, но имеются результаты опытов на кручение (среза), то по теории Мора

по критерию Писаренко—Лебедева