ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

Основные уравнения задачи. Рассмотрим для простоты два плоских тела произвольной формы в декартовой системе координат (рис. 14).

В некоторых двух точках тел удаленных от зоны контакта, поместим системы координат жестко связанные с телами.

Под действием внешних сил произойдет кинематическое перемещение тел относительно общей системы координат на величины компенсируемые перемещениями в зоне контакта.

В зоне контакта возникнут контактные давления

Уравнения равновесия в рассматриваемой задаче имеют вид (силы трения не учитываются):

где — проекции на оси и у внешних сил — соответственно номер тела и силы), — контактные давления; — координаты начала площадки контакта в системе — то же для конца зоны контакта; — ширина тела (размер по оси ).

В результате кинематическою перемещения некоторые сопряженные точки тел займут новое положение (см, рис. 14) с координатами

где — проекции перемещений соответственно на оси — угол поворота осей относительно оси в результате кинематического перемещения тел.

В зоне первоначального контакта деформируются близлежащие участки тел. В результате точки Л, переместятся относительно местных осей на величины и займут положение (рис. 14):

где — компоненты смещений ; соответственно вдоль осей .

Принимая во внимание, что условия касания точек имеют вид

и учитывая связь между системами координат, получим условие совместности перемещений для контактирующих точек тел:

где — координаты точек тел в ненагруженном состоянии.

Из уравнения (80) следует, что кинематические перемещения тел под нагрузкой компенсируются их смещениями в результате деформации. Уравнения (80) в точной постановке задачи должны удовлетворяться для всех сопряженных контактирующих точек тел на всех площадках контакта. Решая совместно системы уравнения (70) и (80) с учетом граничных условий, можно найти контактные давления и размеры площадки (площадок) контакта.

Связь между силовыми факторами и перемещениями в зоне контакта. В большинстве контактных задач граничные условия задают в напряжениях на свободных поверхностях (вне зоны контакта), и решение задач выполняют в напряжениях.

Поэтому для решения систем уравнений (76) и (80) необходимо выразить смещения в уравнениях (80) через силовые факторы (контактные давления и внешние нагрузки).

В классических контактных задачах связь смещений и давлений принимали такой же, как и при действии сил на полуплоскость (из задачи Фламана). Такой подход позволяет учесть лишь деформации и напряжения в зоне контакта.

Если известна система сил, действующих на тело (см. рис. 14), то перемещение некоторой точки С на его поверхности можно определить с помощью функций влияния (функций Грииа):

где — функция влияния давления на перемещение точки С, показывающая перемещение точки С в направлении оси под действием единичной силы, приложенной в точке ; — то же, что для перемещения точки С в направлении оси х при действии единичной силы в точке — функции влияния сил показывающие перемещение точки С соответственно в направлении осей от единичной силы, приложенной в той же точке.

Подставив соотношения (81) в условия (80), получим систему интегральных уравнений. С помощью этой системы и уравнений равновесия можно найти неизвестные давления в зонах контакта, размеры этих зон и кинематические перемещения тел.

Рис. 15. Распределение давлений в зоне контакта

Эта система уравнений решается достаточно просто, если принять допущение о наличии дискретного контакта в точках каждой зоны а неизвестную функцию распределения контактных давлений аппроксимировать ступенчатым законом с постоянными давлениями в зоне точки контакта (рис. 15). В этом случае уравнения равновесия примут вид

Соотношения можно переписать в виде

где — функции влияния, показывающие перемещения соответственно в направлении осей точки тела в сечении от единичной силы, приложенной в сечении I.

Если вместо нормальных давлений в расчет ввести проекции давлений то в соотношениях (81) появятся дополнительные слагаемые, учитывающие изменение перемещений и и соответственно от проекций давлений

Таким ббразом, записывая уравнения (80) для всех точек контакта и заменяя входящие в них смещения соотношениями (83), с учетом уравнений равновесия (82) получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных давлений, кинематических перемещений и размеров зоны контакта. Эта система с учетом граничных условий задачи решается по методу последовательных приближений (для определения размеров действительной площадки контакта).

Определение функций влияния. Дискретность контакта существенно упрощает определение функций влияния. Функции влияния в простых случаях (для стержней, оболочек и пластии) можно вычислить, используя известные соотношения между перемещениями и действующими силами (например, с помощью интеграла Мора для стержней). Для тел сложной формы эти функции достаточно просто вычисляют с помощью одного из численных методов (методом конечных элементов и др.).

Функции влияния в этом случае вычисляют по обычной методике численного расчета напряженного состояния в телах при заданных граничных условиях. При этом учитывают реальную форму тела и его общие деформации (см. гл. 26).

В более сложных задачах функции влияния можно определить экспериментально, измеряя перемещения в различных точках тела под действием сосредоточенных сил.

При определении функций влияния возникает вопрос об уравновешивании свободных (не имеюших точек закрепления) тел при действии единичной

Рис. 16. (см. скан) Схема уравновешивания свободного тела

силы. Следует уравновешивать единичную силу в начале координат тела (рис. 16, а), удовлетворяя условиям равновесия (рис. 16, б).

Пример 1. Определить контактные давления под головкой болта (осесимметричная задача).

Рассмотрим контакт головки болта и стягиваемой детали из стали . Эскиз деталей показан на рис. 17, а.

Граничные условия задачи для головки болта при

для стягиваемой детали (втулки, ): при

Уравнение равновесия

где — радиус стержня болта; — ширина ступени с постоянными давлениями в сечении радиусом под головкой; — номер ступени

Учитывая, что при нагружении соединения поворота местных осей координат не происходит из уравнений (80) получим следующие условия совместности перемещений

где — кинематическое перемещение тел (равно расстоянию между точками при действии внешней нагрузки).

В расчете принимали, что опорные поверхности деталей параллельны, в этом случае при трение в стыке отсутствует.

Смещения уравнений (87) и контактные давления связаны соотношением 5

где - функция влияния, показывающая перемещение в точке болта под действием распределенной по окружности радиусом единичной силы, — то же для втулки

Записывая [с учетом равенства (88)] уравнение (87) для пяти сечений радиусов получим систему из пяти уравнении с шестью неизвестными (пятью контактными давлениями и кинематическим перемещением

Решая эту систему совместно с уравнением равновесия (86), найдем неизвестные контактные давления и кинематическое перемещение.

Для вычисления функций влияния в рассматриваемой задаче использовали вариационно-разностный метод (см. гл. 26).

Рис. 17. (см. скан) Распределение напряжений под головкой болта

На рис. 17, б (кривая 1) показано изменение по радиусу контактных давлений под головкой. При опирании головки на жесткое основание (недеформируемые стягиваемые детали, ) контактные давления под головкой распределяются существенно неравномерно (кривая 2 на рис. 17, б). Для снижения контактных давлений на кромке отверстия выполняют фаску.

Из графиков на рис. 17, б следует, что для раскрытия стыка под головкой не происходит (условие раскрытия стыка в одной из точек контакта).

После определения контактных давлений произведем расчет напряженного состояния тела болта. На рис. 17, а показана сеточная разметка тел болта и втулки для вычисления функций влияния и расчета напряженного состояния. На этом же рисунке показано изменение нормальных напряжений на контуре головкн, цифрами обозначены напряжения в отдельных точках при контакте головки с деформируемой втулкой. При опиранни головки на недеформируемую втулку наибольшие напряжения в галтели незначительно снижаются.

Пример 2. Определение контактных давлений при взаимодействии абсолютно жесткого диска с упругой полуплоскостью плоское напряженное состояние).

На рис 18, а показана сеточная разметка области.

Граничные условия задачи: при мм

Уравнение равновесия

где — ширина ступени контактных давлений . Множитель в правой части уравнения (90) связан с рассмотрением одной половины полу плоскости (по условию симметрии задачи).

Уравнение совместности перемещений, как и в предыдущей задаче, имеет вид (87), а смещения связаны с контактными давлениями соотношением

Рис. 18. (см. скан) Распределение напряжений при давлении диска на полуплоскость

Порядох решения задачи не отличается от изложенного выше. Однахо рассматриваемый пример имеет следующие две особенности:

1) разность координат точек в ненагруженном состоянии [см. уравнение (80)) раьна нулю лишв при а в остальных точках контакта равна зазору между диском и полуплоскостью,

2) размер (полуширина) площадки контакта заранее нгисвестен и зависит от внешней нагрузки (по аналогии с задачей о контакте цилиндров). Поэтому задачу целесообразно решать методом последовательных приближений. В нулевом приближении полуширину площадки контакта можно принять такой же, как и для контактирующих цилиндров (иль в общем случае произвольно). Далее площадку разбивают на ступеней (постоянной или переменной ширины), вычисляют функции влияния, по описанной выше методике определяют контактные давления и проверяют выполнение граничных уелоьий: при

Если в результате расчета окажется, что принятая в нулевом приближении полуширина площадки больше действительной а то в первом приближении принимают новое значение (например, из условия где — координата ступени, в которой давления равны нулю) и повторяют расчет вновь (разбивают новую площадху на ступени и т. д.).

Расчет заканчивается, если

где — принятая погрешность расчета.

На рис. 18, б показано распределение контакых давлений при (кривая 1 соответствует приближенному численному решении задачи, кривая — точному).

Точность решения задачи зависит также от числа разбиений площадки контакта. Б общем случае для оценки точности решения целесообразно увеличивать число первоначально принятых ступеней (в 1,5-2 раза).