ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА МОРА

Вывод основной формулы. Определение прогибов. Пусть к балке в точке (рис. 20) приложена сила Р, которая равна единице (единичная сила). Если сообщить балке некоторый дополнительный прогиб у, то работа внешней силы у (а) будет равна работе внутренних сил упругости .

Обозначим изгибающий момент в сечении стержня от действия единичной силы . Пусть — относительный поворот двух близких сечений, возникший в результате дополнительного прогиба у балки. Тогда работа внутренних сил (работа деформации, рис. 21)

Приравнивая работы внешних и внутренних сил, получаем

Уравнение (40) должно быть справедливым для произвольного (малого) прогиба стержня.

Предположим теперь, что в качестве у рассматривается прогиб от внешней нагрузки.

Тогда

где — изгибающий момент в сечении от действия внешней нагрузки.

Подставляя отсюда значение в соотношение (40), получаем основную расчетную формулу (интеграл Мора)

Следовательно, чтобы найти прогиб в данном сечении стержня, надо приложить единичную силу в этом сечении, определить изгибающий момент от единичной силы и вычислить интеграл (41).

Величина в , так как в равенстве (41) сокращен множитель 1 Н. Единичный силовой фактор при использовании интеграла Мора

Рис. 21. Работа внутренних силовых факторов

следует считать безразмерной величиной (момент от единичной силы имеет размерность длины).

В большинстве практических задач интеграл Мора определяют с помощью правила Верещагина (см. ннже).

В общем случае интеграл Мора может быть вычислен по правилу трапеций. Равенство (41) справедливо и для упругопластических деформаций, если соответствующим образом определить

Если требуется учесть влияние перерезывающей силы на прогиб, то уравнение (40) будет иметь вид

где — угол сдвига [см. формулу (32)]; — перерезывающая сила в сечении от действия единичной силы.

Вместо равенства (41) будем иметь

Второй член в этой формуле выражает прогиб от действия перерезывающей силы.

Преимущества определения перемещения с помощью интеграла Мора особенно сказываются для стержней с непрямолинейной осью. Пусть, например, требуется найти проекцию перемещения точки А (рис. 22) на направление I—I, причем следует учесть влияние изгибающих моментов, перерезывающих и нормальных сил.

Повторяя предыдущие рассуждения,

Рис. 22. Изгиб Г-образного стержня

Найдем проекцию перемещения точки приложения единичной силы на ее направление:

где — изгибающий момент, перерезывающая и нормальная силы в сечении стержня от действия единичной силы, — то же в поперечном сечении от действия внешних

Интегрирование распространяется на всю длину осн стержня, элемент длины обозначается

Определение углов поворота. Формула для определения углов поворота выводится так же, как соотношение (44). В сечении, где определяют угол поворота, прикладывают единичный момент (рис. 23). Работа момента будет .

В соответствии с этим

В этом равенстве — изгибающий момент в сечении стержня от действия единичного момента.

Рис. 23. (см. скан) Работа единичного момента

Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина. Изгибающий момент от внешней нагрузки и изгибающий момент от единичной силы (момента) определяют по одному правилу знаков (например, момент считают положительным, если он создает сжатие верхнего волокна).

Если при вычислении интеграла (41) или (45) получается отрицательная величина, это означает, что действительный прогиб или угол поворота сечения направлен в сторону, противоположную направлению соответственно единичной силы или единичного момента.

Эпюра изгибающих моментов от единичной силы или единичного момента состоит из отрезков прямых. Рассмотрим участок стержня в пределах от до (рис. 24).

Предположим, что изгибающий момент от единичной нагрузки выражается равенством

где А и В — некоторые числа. Тогда интеграл Мора на рассматриваемом участке

Рис. 24. К выводу правила Верещагина

Предположим, что жесткость стержня на изгиб в пределах участка постоянна, и учтем, что

где — площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил.

Тогда

Далее следует прииить во внимание, что

так как интеграл представляет собой статический момент площади , а гц — абсцисса центра тяжести площади

Формула (48) справедлива в том случае, когда величина имеет постоянный знак в пределах участка.

Используя соотношение (48), получим из равенства (47)

Рис. 25. (см. скан) Ограничения для применения правила Верещагина

где — момент от единичной нагрузки в сечении гц.

Следовательно, интеграл Мора в пределах участка равен произведению площади эпюры моментов от внешних сил на ординату эпюры от единичной нагрузки в сечении, соответствующем центру тяжести этой площади, деленному на жесткость стержня на изгиб (правило Верещагина).

1. Площадь и положение центра тяжести эпюр

(см. скан)

Ограничения для применения правила Верещагина. 1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 25, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 25, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого из двух участков в отдельности.

Ограничение не распространяется на момент от единичной нагрузки.

3. Жесткость стержня на изгиб в пределах участка должна быть постоянна. На рис. 25, в приведен случай, когда интеграл нужно вычислить отдельно для участков и II. Вспомогательные данные для применения правила Верещагина приведены в табл. 1.

Если эпюра от внешних силовых факторов на данном участке является линейной (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то равенство (46) можно использовать для момента и тогда, повторяя вывод, найдем

где — площадь эпюры моментов от единичной нагрузки; — ордината эпюры моментов от внешних нагрузок в сечении, соответствующем центру тяжести площади эпюры моментов от

единичной иагрузкн. Все ограничения, указанные выше для формулы (49), соответствующим образом переносятся на формулу (50).