Глава 22. КРИТИЧЕСКИЕ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ ВАЛОВ

ВАЛ С ОДНИМ ДИСКОМ

Понятие критической частоты вращения. Рассмотрим вал на двух опорах с диском посредине (рис. 1), вращающийся с угловой скоростью со.

Для того чтобы выяснить, является ли вращение вала с прямолинейной осью устойчивым, предположим, что вал получил некоторое отклонение и центр тяжести диска стал двигаться по Окружности радиусом у. Тогда на диск действуют центробежная сила и вила упругости:

Цгде — масса диска, а — прогиб среднего сечения вала от действия единичной силы для вала постоянного сечения,

Если то после отклонения вал снова вернется в первоначальное положение, т. прямолинейное положение оси является устойчивы

В момент равновесия, т. е. в момент начала потери устойчивости, когда прогибы могут безгранично возрастать. В этом случае центробежные силы в отклоненном положении равны силам упругости, стремящимся вернусь вал в исходное состояние. Частоты вращения, при которых наступает равенство центробежных сил и сил упругости, называют критическими.

Рис. 1. Вал на двух опорах с диском посредине

При критическом значении со величина отсюда

или

Критическая частота вращения,

Равенство центробежных сил и сил упругости имеет место при любом прогибе, так как в пределах применимости линейной теории обе указанные силы пропорциональны прогибам.

Можно представить, что при критической частоте вращения вал совершенно теряет жесткость на изгиб; даже малая сила может вызвать значительные прогибы.

Из равенства (1) следует, что критическая угловая скорость совпадает с круговой частотой поперечных (изгибных) колебаний вала. Этот вывод справедлив и в общем случае, если детали, закрепленные на валу, рассматривают как точечные массы.

Учет начального эксцентриситета центра тяжести диска. В практических задачах центр тяжести лиска имеет некоторое смещение относительно своей геометрической оси и, следовательно, оси вала.

Для уменьшения этого эксцентриситета быстровращающиеся валы подвергаются балансировке, которая, однако, имеет ограниченную точность. Например, детали массой 100—300 кг балансируют обычно с точностью порядка Кроме того, следует учесть, что в рабочих условиях вследствие нагрева, остаточных деформаций и других причин дисбаланс возрастает.

При наличии эксцентриситета вал получает прогибы даже при малой угловой скорости, так как к нему приложена неуравновешенная сила.

Рис. 2. Начальный эжсцентригитет диска

Рис. 3. Зависимость прогиба валя от угловой скооости

Обозначим абсолютную величину эксцентриситета диска (величине соответствует дисбаланс где — сила тяжести диска).

На диск действует сила инерции С и сила упругости (рис. 21.

Предполагая величины у и положительными, получим

Из условия равновесия следует Подставляя в это равенство зависимости (2), нахоцим

Если угловая скорость вращения меньше критической угловой скороси то решение соответствует положительной величине у (направления прогиба и эксцентриситета совпадают, см. рис. 2).

При (закрнтнческий режим) величина (направления эксцентриситета и прогиба противоположны). В закритической области центр тяжести диска расположен ближе коси вращения, чем точка крепления диска к валу.

Из уравнения (3) следует, что при очень больших угловых скоростях т. е. центр тяжести диска оказывается на оси вращения.

Такое явление называют самоцстановлением вала в закритической области.

Рассмотрим теперь критический режим, когда

Из уравнения (3) следует, что при совпадении угловой скорости с критической угловой скоростью прогибы вала неограниченно возрастают.

Зависимость прогиба вала от показана на рис 3 Подобным образом возрастает и реакция на опоры.

В действительности прогибы при остаются конечными, так как всегда существуют ограничения (защемление в подшипниках, трение и т. п.) и, кроме того, при больших дрформяциях нарушается линейная зависимость между силой и перемещением.

Однако приближение угловой скорости к критической может оказаться опасным, и поэтому зону частот вращения от до не рекомендуется использовать для рабочих режимов.

Во всех случаях желательно работать с жесткими роторами (валами), для которых

Работа вала с одним диском при со сок возможна, но при этом часто требуются специальные демпфирующие опоры для прохождения через критические частоты и для успокоения вибрации в закритической области.

Если вал имеет несколько дисков и соответственно несколько критических угловых скоростей то критическое состояние наступает при совпадении угловой скорости с любой из критических скоростей.

Для устойчивой работы вала диапазон частот вращения

рекомендуется исключить из рабочих режимов.

Для вала с несколькими дисками условия для устойчивой работы в закритической области более благоприятны, чем для вала с одним диском.

Рис. 4. Вал на пругнх опорах

Учет упругости опор. В действительных условиях опоры вовлекаются в колебания. Если пренебречь массой опоры, то в простейшем случае ее можно схематизировать в виде пружины (рис. 4).

Предположим для простоты, что опоры обладают одинаковой жесткостью. Для определения критических частот вращения следует рассмотреть равновесие системы при изогнутой оси вала. Центр тяжести диска будет перемещаться по окружности радиусом у, центры опор — по окружности радиусом

Если — коэффициент податливости опоры в то

Далее следует учесть равенства

где а — коэффициент податливости вала.

Так как то из уравнения (5) следует:

Приравнивая соотношения (4) и (6), находим

где

является критической угловой скоростью вала на жестких опорах.

Из формулы (7) следует, что поправка, связанная с учетом податливости опор, зависит от податливости вала.

Одни и те же опоры можно рассматривать как жесткие или как податливые в зависимости от жесткости вала. В практических конструкциях податливость опор составляет обычно причем податливость подшипников качения для вала диаметром 60— 80 мм приблизительно равна

При критических частотах вращения в вале возникают постоянные по времени напряжения, тогда как в опорах напряжения будут изменяться по времени, что способствует увеличению сил демпфирования.

В технике применяют конструкции, в которых относительно жесткий ротор закреплен на податливых опорах. В силу этого критическая частота может лежать в рабочем диапазоне но, как показала практика, это не нарушает нормальной работы.

Прогибы ротора при критических частотах вращения всей системы оказываются малыми, если критическая частота вращения ротора на жестких опорах превышает максимальную

Учет гироскопического эффекта дисков. Рассмотрим центробежные силы, действующие на диск (рис. 5). Ось х является осью вращении, ось направлена по оси диска. Пусть элемент массы находится в точке А. К нему приложена центробежная сила действующая в плоскости вращения, причем

где длина отрезка ОА.

Центробежная сила может быть разложена на две составляющие но усилия вследствие симметрии образуют взаимную уравновешенную систему сил и для дальнейшего не существенны.

Рис. 5. (см. скан) Гироскопический вффект диска

Усилие

так как отрезок представляет собой проекцию отрезка ОА на плоскость

Приведем все нагрузки, действующие диск, к силе С и паре сил М, приложенным в центре тяжести диска. Сила

интеграл распространяется на весь объем диска.

Величины у (смещение центра тяжести) и (угол поворота плоскости диска) одинаковы для всех точек диска и могут быть вынесены из-под знака интеграла.

Тогда

Учитывая, что

как статический момент относительно прямой, проходящей через центр тяжести, получим

где — масса всего диска.

Но центробежные силы создают еще и момент, который для рассматриваемого вида движения (диск неподвижен относительно плоскости, содержащей изогнутую ось вала) может быть легко определен.

Этот момент называют гироскопическим.

или с учетом соотношения (9)

Последний интеграл разбивается на два:

из которых первый равен нучю. Таким образом,

где — осевой момент инерции, .

Для тонких дисков

Рис. 6. Влияние гироскопического эффекта на критическую частоту вращения вала

Так как рассматриваются малые Отклонения вала от прямолинейной формы, то

Момент, создаваемый диском,

При малых углах поворота

Существенно, что этот момент препятствует прогибу. Следовательно, с учетом гироскопического момента дисков критические числа оборотов повышаются.

Перейдем к определению критических частот вращения вала с одним диском с учетом гироскопического момента (рис. 6).

Под действием силы С и момента М вал в месте крепления диска прогибается на величину у и поворачивается на угол

где — прогиб и угол поворота действия единичной силы, — прогиб и угол поворота от действия единичного момента.

Направление единичных силовых факторов показано на рис. 6 По условию взаимности упругих систем величины у и 5 численно равны.

Подставляя равенства (10; и (11) в уравнение (12), получим

или

Приравнивая отношение у к из равенств (13) и (14), находим

или

Из последнего уравнения получаем величину критической угловой скорости

Если то получим известный результат

Влияние гироскопического момента особенно существенно для дисков, расположенных вблизи опор.

Если вал имеет концевые опоры и несет несколько дисков, то повышение критических частот вращения вследствие влияния гироскопического эффекта дисков невелико.

Учет массы вала. В приближенных расчетах массу вала учитывают

увеличением массы диска. Обычнс к массе диска добавляют половину массы вала. Приближенный расчет допустим, если масса вала составляет не более 30% массы диска.