НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ДИСКЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Метод линейного аппроксимирования. Для решения задачи запишем уравнения равновесия и совместности в интегральной форме.

Интегрируя обе части уравнения (175) в пределах от некоторого начального радиуса а до находим

где — переменная интегрирования.

Индекс а здесь и в дальнейшем означает, что рассматривается значение параметра при

В качестве начального радиуса а для дисков с отверстием принимаем радиус отверстия, для сплошного диска — некоторый малый радиус в пределах которого с достаточной точностью выполняется условие

Запишем уравнение совместностя (183) в виде

Интегрируя обе части равенства в пределах от а до получим

Обозначая разность окружного и радиального напряжений в диске

и заменяя величину в равенстве (195) значением из уравнения (193), найдем

Для диска с отверстием, полагая запишем уравнение в сокращенной форме:

где

Это уравнение справедливо и для сплошного диска [условие (194)], но только следует считать

Уравнение (197) представляет собой нормальное интегральное уравнение, его решают методом линейного аппроксимирования, использующим правило трапеций для вычисления интепзалов.

Разобьем днск по радиусу на участков сеченнями значения функций в сечении будем обозначать .

Длина участка диска

Функции уравнении (198) выражают действие центробежных сил диска и неравномерного нагрева, функция связана с нагрузками на краях диска.

Обозначим

и рассмотрим общий метод решенкя уравнения (198).

Применяя правило трапеций для вычисления интегралов, можно записать:

в начальном сечении

в первом сечении

где — значение функции

Из равенства (206) получаем

Во Втором сечении

В общем случае для сечения можно записать

где

В последнем равенстве следует считать так как участки начинаются с . Соотношение (207) позволяет шаг за шагом вычислить значения во всех сеченнях.

В практических расчетах величину удобно определять от каждого фактора в отдельности в соответствии с равенством (205).

Тогда

где получаются при расчете по формуле (207), если положить соответственно

В равенство (210) входит величина которая подлежит определению.

Из уравнений (193), (196) и (210) получаем

Для диска с отверстием на внешнем контуре из условия

где стгь — заданное напряжение от действия лопаток и замков, находим

Для сплошного диска из соотношений (211) и (212) получаем

Зная из равенств (210) и (211) находим и затем

Если в диске произвольного профиля температурная деформация остается постоянной на всех радиусах, то температурные напряжения в таком диске отсутствуют, так как

Пример. Определить напряжения в диске, профиль которого приведен на рис. 56. Материал диска — никелевый жаропрочный сплав плотность материала частота вращения диска напряжение на контуре

Эпюры радиальных и окружных напряжений в диске, рассчитанные по методу линейного аппроксимирования, показаны на рис. 65. Здесь — напряжения соответственно от центробежных температурные и суммарные.

Рис. 65. Эпюры радиальных и окружных напряжений в диске

Метод последовательных приближений. Расчетные зависимости при этом методе более сложные, чем при методе линейного аппроксимирования, но они позволяют непосредственно вычислить напряжения в диске произвольного профиля.

Радиальное и окружное усилия на единицу длины

где — радиальное и окружное напряжения в диске.

Сплошной диск. В этом случае на малом радиусе а принимают

Здесь и в дальнейшем индекс а указывает, что значение параметра относится к сечению

Первое приближение для радиального усилия (вывод формул указан в работе [3])

где — радиальное усилие на внешнем радиусе диска.

Функция

Величина изменяется в пределах . Усилие от центробежных сил диска

В этом равенстве — переменная интегрирования, изменяющаяся в пределах от а до .

Усилие от неравномерного иагрева

Коэффициент Пуассона предполагается постоянным. В практических расчетах при можно приближенно считать

Если при расчете ограничиваются определением только первого приближения, то достаточно хороший результат получается в том случае, если положить в предыдущих формулах

Тогда, например радиальные напряжения в диске от центробежных сил определяют по формуле

Это равенство имеет следующий физический смысл: радиальные напряжения от действия центробежных сил в сплошном диске такне же, как в стержне прямоугольного сечения (рис 66).

Если известно радиальное усилие в диске то окружное усилие определяют равенства

В частности, если требуется найти то в это уравнение вносят

Рис. 66. Радиальные напряжения в сплошном диске от действия центробежных сил (1-е приближение)

и для сплошного диска учитывают равенство (218).

Если при расчете определяют и следующие приближения для то формулу (228) используют для последнего приближения [обычно для или

Второе приближение для радиального усилия

Величина поправки

где

В большинстве практических задач достаточно ограничиться вторым приближением (для предварительного выбора конструктивного варианта можно использовать и первое приближение).

Если потребуется вычислить третье приближение, то его находят из равенства

где вторую поправку к первому приближению определяют точно так же, как исходя из

Окружное усилие в диске определяется из соотношения (228).

Диск с отверстием. Первое приближение для радиального усилия

где — радиальное усилие на внутреннем контуре.

Если диск напрессован на вал и в рабочих условиях должно сохраняться давление напрессовки то следует положить

Функция

Для диска с отверстием

Рис. 67. Схема диска центробежного нагнетателя и диаграмма напряжений; 1 — без учета жесткости лопаток; 2 — с учетом жесткости лопаток

где функция определяется равенством (223).

Второе приближение и следующее находят из соотношений (229) и (230). Окружное усилие определяют из формулы (228). Для отыскания окружного усилия на внутреннем радиусе используют формулу

Величину находят по последнему приближению для [формула (231)]. Для упрощения расчета можно использовать результаты для предыдущего приближения и тогда все члены равенства (237) будут известными.

Общие указания. Для расчета диск разбивают на 5—8 расчетных сечений. При наличии участков с резким изменением толщины число расчетных сечений должно быть увеличено. Все интегралы вычисляют по правилу трапеций.

Для повышения точности расчета следует несколько увеличить число расчетных сечений на малых радиусах.

Особенности расчета дисков центробежных компрессоров. Лопатки центробежных компрессоров (нагнетателей) расположены на боковых сторонах диска (рис. 67). Обычно при расчете жесткость лопаток на растяжение не учитывают и лопатки рассматривают как присоединенные массы. Тогда диск рассчитывают обычным способом, вводя приведенную плотность материала

где — коэффициент, зависящий от расположения лопаток (при одностороннем расположении при двустороннем — число лопаток; — площадь поперечного сечения лопатки.

Учет жесткости лопаток при расчете на растяжение приводит к существенным поправкам (см. рис. 67).

Запас по разрушающей частоте вращения

где

Для дисков центробежных нагнетателей При наличии покрывающих дисков (закрытые крыльчатки) под понимают суммарную толщину всех дисков. Запас по разрушающим оборотам должен быть в этом случае увеличен до