ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ

Пусть система, показанная на рис. 4, совершает собственные колебания с частотой Если разрезать систему в какой-либо точке А, то на каждую ветвь системы будет действовать периодическая сила X, неизвестная по величине. Допустим, что положительное амплитудное смещение точки А, равное а, направлено вверх. Тогда динамическая жесткость в точке А для верхней ветви и соответственно для нижней ветви .

Из этих равенств следует основное соотношение

Так как динамические жесткости зависят от частоты то равенство (12) представляет собой алгебраическое уравнение для определения (характеристическое уравнение системы). Корни уравнения (12) являются частотами собственных колебаний.

Для многомассовых систем уравнение (12) решают графическим или численным методом: строят функции абсциссы точек пересечения которых дают значения собственных частот.

Уравнение (12) получено для сечения системы по внутренней точке.

Если сечение проходит через опору, то

так как перемещение этой точки равно нулю.

В крайней точке системы

если эта точка свободна от закрепления.

Рассмотрим в качестве примера систему, показанную на рис. 5.

Рис. 4. Сечение системы по методу динамических жесткостей

Рис. 5. Определение частоты собственных колебаний одномассовой системы

Динамическую жесткость в точке А найдем с помощью «Лорлул переходам В точке

Переходя иепез участок с массой, буяем иметь в силу равенства (8)

Далее, пепеходя через с жесткостью, получим в соответствии с равенством (10)

Так как сечение проходит через опор, то

и, следовательно,

откуда получаем частоту

В этом же примере можно найти частоту из условия переходя от точки А к точке В.

В точке А

Переходя к точке , будем иметь

Далее находим

что дяет полученное ранее значение

Для двухмассовой системы выберем сечение в точке возле массы (рис. 6).

Для верхней ветви найдем последовательно

Для нижчей ветви

Из уравнения (12) следует:

что дает

Графическое решение уравнения (15) представлено на рис. 6.

Динамическая жесткость К при значениях имеет вертикальную асимптоту.

Определим частоты собственных колебаний системы II (рис, 7) для нижней ветви

для верхней ветви

Рис. 6. Определение частоты собственных колебаний двухмассоаой системы I

Рис. 7 Определение частоты собственных колебаний двухмассовой системы

Рис. 8. Крутильные колебания

Из уравнения следует:

что дает два значения собственной частоты

Графическое решение уравнения (16) даьо на рис. 7, Величина