ВАЛ С НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ

Рассмотрим вал с непрерывно распределенными массами с концевыми шарнирными опорами (рис. 9).

Пусть — масса единицы длины вала в сечении х.

Величина должна учитывать как массу диска, так и массу вала.

Рис. 9. Вал с распределенными массами

Если, например, на участке вала длиной см расположен диск массой 20 кг, а масса самого вала в пределах участка 2 кг, то кг/см.

Величину принимаем постоянной на всем участке.

В изогнутом положении вала на него действует распределенная нагрузка

Перерезывающая в сечении х

где величина х, представляет собой переменную интегрирования Так как изгибающий момент в сечении х и усилие связаны равенством

то

Из условия равенства нулю изгибающего момента в сечении получаем

откуда

Внося значение в формулу (20), находим

Полученное равенство выражает изгибающий момент в шарнирно опертой по концам балке при произвольной эпюре

Для рассматриваемого случая выражается равенством (19) и потому

Последнее соотношение запяшем в более краткой форме:

где

Далее следует учесть основние уравнение изгиба вала

где — жесткость сечения вала На изгиб.

Проинтегрировав обе части равенства в пределах от 0 до х, найдем

повторнв операцию, получим

В рассматриваемом случае а из условия следует:

и

Подставив это равенство в уравнение (25), будем иметь

Это уравнение выражает прогибы вала при произвольном распределении изгибающего момента.

Если учесть соотношение (23), то уравнение (27) можно представить в следующей форме:

где — сокращенная запись интегральных операций (интегральный оператор):

Уравнение (28) представляет собой интегральное уравнение для определения критических угловых скоростей. Его решают методом последовательных приближений, причем в практических расчетах больше двух приближений не требуется (второе приближение — для контроля).

Исходное приближение можно выбрать в виде плавной кривой, удовлетворяющей условиям например

или

Окончательный результат не завн от выбора исходного приближения Следующее приближение для прогибов определяем в соответствии с равенством

означает, что величина должна быть внесена в соотношение (24), и затем поме вычисления следует определить интегралы, входящие в равенство (29).

Интегралы определяем приближенно по правилу трапеций.

Первое приближение для определения критической угловой скорости находим условия равенства исходного и последующего приближений

Это равенство (в приближенном расчете) не может быть справедливым для всех сечений, поэтому ограничиваются удовлетворением его лишь в сечении, где прогибы наибольшие.

В рассматриваема случае можно принять в качестве такого сечення (середину пролета).

Тогда по соотношениям (32) и (33)

Для контроля можно привести одно приближение.

Рис. 10. (см. скан) Схема вала компрессора

Величину вычисляем из соотношения (32), так как и известны. Величину определяем так же, как но функцию ваменяем

1. К расчету критических частот вращения ротора

(см. скан)

Значение находим из равенства

Так определяют первую (наименьшую) критическую угловую скорость.

Расчетные сечения нужно выбирать так, чтобы были огражеы релне изменения в распределении и жесткостей системы (см. рис. 9).

Пример. Определить первую критическую частоту вращения ротора центробежного компрессора, эскиз которого приведен на рис. 10. Частота вращения вала

В табл. 1 приведены расстояния расчетных сечений х до левой опоры, значения исходное приближение для прогибов полученное по равенству (31) и прогибы первого приближения Первое приближение для критической угловой скорости Второе

Рис. 11. Общий случай расчета критиче ских частот вращения двухопорного вала

приближение, определенное по функции прогибов первого приближения будет .

Общий случай определении критической угловой скорости. Рассмотрим вал (ротор) переменного сечения (рис. 11) на двух шарнирных опорах, загруженный произвольно распределенными массами и моментами инерции.

Массу, приходящуюся на единицу длины вала, обозначим момент инерции на единицу длины вала

В соответствии с формулами (10) и (11) на участок вала будет действовать внешняя сила

и момент

Перерезывающая сила в сечении х

где

Введение единичных разрывных функций значительно упрощает схему расчета, так как позволяет записать в единой для всего вала аналитической форме выражения для перерезывающей силы и изгибающего момента.

Изгибающий момент в сечении

Равенства (36) и (37) запишем в более краткой форме:

где

Из краевых условий

получаем с помощью равенств (38) и (39)

Теперь, учитывая равенства (42), запишем соотношение (39) в виде

причем

Уравнения (25) и (26) сохраняют силу. Используя зависимости (26) и (43), получаем

Из условий

получаем систему двух уравнений для нахождения :

Определяя из этих уравнений и внося их в формулу (45), получаем основное расчетное уравнение

где

Для расчета требуется значение Его вычисляем по формуле

где

Уравнение (49) решаем методом последовательных приближений. В качестве исходного приближения можно выбрать

Постоянная С несущественна для расчета. Для однообразия вычислений ее можно определить из условия

Если, например, наибольшее значение то

В окончательной форме

Величины должны быть подставлены в соотношения (40), (41) и далее в (44) и (50). В результате находим после чего величину определяем из равенства

где — абсцисса сечения, в котором величина имеет наибольшее значение; часто это сечение является одним из концевых сечений вала или серединой пролета

Если требуется определить второе приближение, то вычисляют величину

И далее с помощью равенства (52)

Никаких новых вычислений для определения в сущности, не требуется, так как все входящие в равенство (52) величины были рассчитаны ранее.

Определение второй и более высоких критических угловых скоростей. Рассмотрим сначала случай, когда гироскопическим моментом можно пренебречь. Для определения второй критической скорости вместо уравнения следует решить уравнение

где

В этом равенстве определяют прежним способом, а представляет собой форму прогибов при первой критической скорости.

В качестве принимают последнее приближение при определении (обычно принимают

Исходное приближение при определении второй критической скорости можно выбирать произвольным, целесообразно задать такую форму, которая, кроме опорных точек, содержала бы один узел.

Например, предполагая, что узел расположен в сечении можно принять

и выбрать С таким, чтобы гаах

Последнее условие не является обязательным, но оно обеспечивает некоторую однотипность вычислений Величину получаем дифференцированием равенства (58):

Равенство (57) можно представить в виде

где коэффициент

Такая структура формулы (60) объясняется тем, что форма прогибов, соответствующая второй критической скорости, должна удовлетворять условию ортогональности

Слагаемое в формуле (60) «счищает» оператор от составляющей по первой форме.

При определении третьей критической угловой скорости приходится обеспечить условие ортогональности не только по отношению к первой форме, но и ко второй.

Рассчитывают прогибы по уравнению

где

причем значение находят из равенства (61), а

Исходное приближение целесообразно выбрать так, чтобы оно, кроме точек закрепления, содержало два узла.

Подобным способом можно определить более высокие критические скорости Однако для определения третьей критической скорости необходима повышенная точность расчета, а расчет четвертой и пятой скоростей практически затруднителен. В большинстве конструкций определение этнх критических скоростей не требуется, так как они лежат за проделами рабочих частот вращения.

Перейдем к определению высоких критических угловых скоростей с учетом влияния гироскопических моментов дисков.

При определении второй критической скорости следует принять во внимачие условие ортогональности в таком виде:

где — формы прогибов при первой и второй критических

Расчет ведем по уравнению (56) с учетом равенства (60) для и принимаем

В этом равенстве которое находят по формуле (52). Третью критическую скорость рассчитывают по уравнению (63), причем значение Р, берут по формуле (67), а

При очень сильном влиянии гироскопического момента дисков (например, при расположении дисков вблизи опор) может случиться, что при решении уравнения (49) расчет сводится к первой форме но соответствующая ей угловая скорость оказывается мнимой . В этом случае нужно перейти к расчету второй критической скорости, используя, как обычно, условие ортогональности по отношению к полученной форме прогибов

Вторая расчетная критическая скорость будет для такой системы первой действительной критической скоростью, с которой только и нужно считаться в дальнейшем.

Пример. Определить вторую критическую частоту вращения ротора центробежного компрессора (по данным примера на с. 413).

Определив по формуле (58) исходное приближение найдем коэффициент по формуле (61):

Первое приближение для второй критической скорости второе приближение

Рис. 12. (см. скан) Конструктивные схемы упругих опор: а — упругое кольцо с чередующимися выступами, б - пакет тонких колец; в — упругое кольцо с прорезями

Расчет критических частот вращения с учетом упругости опор. Во многих практических задачах при расчете критических частот вращения роторов приходится учитывать упругость опор. Для роторов быстроходных машин с успехом применяют специальные упругие опоры, которые дают возможность перевести критические скорости в зону малых частот вращения, не используемых при рабочих режимах. Упругие опоры позволяют изолировать корпус от вибраций ротора и снизить нагрузки на подшипник.

Рис. 13. Упругое кольцо

Применение упругих опор целесообразно сочетать с введением дополнительного демпфирования в систему за счет вытеснения масляного слоя при колебаниях и других видов трения (упругодемпфирующие опоры).

Конструктивные схемы упругодемпфирующих опор показаны на рис. 12. Конструкция упругого кольца приведена на рис. 13, а основные размеры даны в табл. 2.

Силы демпфирования оказывают значительное влияние на частотные характеристики системы, и при определении критических частот вращения ими можно пренебречь.

Схема ротора на двух упругих опорах показана на рис. 14.

Рис. 14. Ротор на двух упругих опорах

(кликните для просмотра скана)

Прогибы (смещения) в опорах и силы реакции связаны соотношениями

где — динамические жесткости опор, Н/см.

Знак минус в этих равенствах согласовывает положительные направления усилий и смещений (см. рис. 14).

Если в опорах не учитывают присоединенные массы, то динамические жесткости опоры равны соответствующим статическим жесткостям:

где — коэффициенты упругой податливости (при выводе формулы (7) принимали

Для случаев, когда рассматривают сложную динамическую систему, коэффициенты динамической жесткости определяют, как указано в гл. 21.

При выводе расчетного уравнения зависимости справедливы но вместо условий (46) и (47) будем иметь

где определяют из отношений (42).

Из равенства (72) и (73) находим величины у (0) и (0) и получаем основное расчетное уравнение для ротора на упругих опорах

где определяется формулой (50), а величина учитывающая податливость опор,

Необходимое для расчета значение вычисляем из уравнения

значение находим из равенства (52), а

Расчет по уравнению (74) ведут методом последовательных приближений.

Если учитывают обычную упругость опор [формулы (71)], то такой расчет не содержит существенных отличий от рассмотренного ранее.

Выбор первого приближения не влияет на окончательные результаты.

В качестве первого приближения можно выбрать

При учете присоединенных масс величина зависит от так как в входят динамические жесткости опор. В этом случае условие (33) приводит к алгебраическому уравнению относительно

Пример Определить первую критическую частоту вращения ротора турбомашины, эскиз которого показан на рис. 15, на жестких и упругих опорах. В соответствии с экспериментальными

Рис. 15. (см. скан) Вал ротора нагнетателя

данными жесткости опор приняты

При расчете методом последовательных приближений получено по уравнению (491 для жестких опор по уравнению (74) для упругих опор

Вал с равномерно распределенной массой. Рассмотрим случай (рис. 16), имеющий практическое значение вал постоянного сечения, несущий большое число одинаковых дисков.

Эта задача имеет точное решение. Если — масс момент инерции, приходящиеся на единицу длины вала, то критическая скорогть порядка выражается равенством

Форма прогибов, соответствующая критической угловой скорости, будет

В равенстве (79)

где — критическая угловая скорость вала без учета гироскопического момеьта дисков.

Следочательно,

Из последнего равенства следует, что влияние гироскопического момента для высших критических угловых скоростей увеличивается.

Наименьшая критическая угловая скорость вала в соответствии с равенством будет

Рис. 16. Вал с дисками

Для вала постоянного сечения без присоединенных масс имеем

и тогда

Если отношение значительно меньше единицы, то влиянием гироскопического эффекта можно пренебречь и считать

Влияние начального дисбаланса для ротора с распределенными массами. Уравновешивание по собственным формам. Рассмотрим для простоты системы, для которых можно пренебречь влиянием гироскопических моментов дисков.

При определении критических угловых скоростей использовали интегральное уравнение

Физический смысл этого уравнения таков: прогибы вала вызываются распределенными центробежными силами в свою очередь, зависящими от прогиба.

Очевидно, что уравнение (86) имеет решение которое соответствует прямолинейной фирме равниьесия (начальный дисбаланс счиыли отсутствующим).

Однако при некоторых значениях называемых критическими, уравнение (86) обладает отличными от нуля решениями:

Эти решения (с точностью до множителя) и представляют собой формы прогибов при критических скоростях вращения (собственные формы или собственные функции).

Следовательно, собственные формы удовлетворяют уравнениям

где — критические скорости ротора.

Собственные формы удовлетворяют условию ортогональности

Прогиб вызывает распределенные силы ыупу а прогиб — силы

Так как то отсюда следует условие (88).

Рассмотрим теперь вал, имеющий начальный эксцентриситет расположенных на валу масс . Тогда прогиб вала будет вызывать силы

Обозначим прогиб вала от распределенных усилий мат

Тогда уравнение (89) примет вид

Это уравнение выражает прогиб вала при любой угловой скорости . Прогиб можно представить в виде ряда

Для того чтобы определить коэффициент умножаем обе части уравнения на и интегрируем по всей длине ьала:

Согласно условию ортогональности все интегралы, содержащие разные

собственные формы, обращаются в нуль, но

Точно так же найдем

Коэффициенты - в равенстве (92) называют коэффициентами разложения (прогиба от дисбаланса по собственным формам).

Предположим теперь, что общий прогиб вала у также может быть представлен в виде

и требуется определить коэффициенты

Внося значения (94) и (92) в уравнение (91), получим

Так как величина содержит обычные интегральные операции с функцией то

Учитывая, что из соотношений (87)

и подставляя эти зависимости в равенство (95), получим

Последнее равенство возможно (для всех только в том случае, если

откуда

Внося эти значения в ряд (94), получаем выражение для прогиба вала в рабочих условиях от начального дисбаланса

Из этой формулы следует: прогибы могут неограниченно возрастать при совпадении угловой скорости вала с одной из критических угловых скоростей;

для устранения прогибов, связанных с данной критической угловой скоростью необходимо сделать равным нулю — коэффициент разложения прогиба от дисбаланса по данной форме.

Расположение уравновешивающих грузов для устранения вибраций, связанных с первой критической угловой скоростью, показано на рис. 17.

Рис. 17. Расположение уравновешивающих грузов для устранения вибраций, связанных с первой критической угловой скоростью

3. Критические угловые скорости некоторых роторов

(см. скан)

Формулы (90) и (93) позволяют рассчитывать расположение начальных эксцентриситетов для выполнения условия

Для гибких роторов (т. е. роторов, работающих при ) обычные методы уравновешивания часто не дают положительных результатов из-за упругих прогибов роторов при рабочих условиях.

Более эффективным оказывается уравновешивание по собственным формам, сущность которого состоит в выполнении условия (97) для нескольких первых критических скоростей. Критические угловые скорости для некоторых роторов приведены в табл. 3.