МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В последние годы широкое распространение получил метод конечных элементов, который имеет те же принципиальные основы, что и

Рис. 2. Конечные элементы

вариационно-разностный метод, по более прост при реализации на ЭВМ [3]. Для расчета область расчленяют на конечное число малых элементов, обычно в виде треугольников для плоской задачи и многогранников для пространственной задачи (рис. 2). В пределах элемента перемещения представляют с помощью суммы аппроксимирующих функций. Например,

где — заранее выбранные функции; — неизвестный параметр. Число параметров выбирается равным числу узлов элемента, что дает возможность выразить смещения как линейные функции узловых смещений этого же элемента.

Для элемента в виде тетраэдра (см. рис. 2) принимают, что смещение представляет линейную функцию координат

Обозначая , где — компоненты смещения узла элемента находим вектор смещения для чтого узла в виде

где — квадратные матрицы — векторы смещения четырех узлов тетраэдра

В более краткой форме равенство (28) можно записать с помощью матриц и векторов, содержащих блоки:

Здесь и в некоторых случаях в дальнейшем указаны числл строк и столбцов в блоке матрицы (верхние цифры) и числа строк и столбцов в самой матрице (нижние цифры). Если одна из пар цифр состоит из единиц (IX.1), то верхние и нижние цифры можно переставлять. При умножении матриц «внутренние» (обязательно попарно одинаковые) числа «поглощаются».

После того как сформирована матрица аппроксимирующих функций вектор деформаций (3) можно записать с помощью матрицы дифференцирования

где

(см. скан)

В соответствии с законом упругости вектор напряжений [см. уравнения (2)

Для получения разрешающей системы уравнений используют начало возможных перемещений (для всего тела), что обеспечивает выполнение условий равновесия

где

— векторы внешних нагрузок (объемной и поверхностной).

Проинтегрировав по всем элементам, будем иметь — число элементов)

Последний интеграл распространяется на пойерхности элемента, принадлежащие внешней поверхности тела; для всех внутренних элементов он обращается в нуль.

Учитывая равенства (30), (31) и (33), находим

(см. скан)

или

(см. скан)

Вследствие независимости произвольных вариаций соотношение (38) эквивалентно системе 3 линейных алгебраических уравнений

Запись означает, что в уравнение входят только элементы, примыкающие к узлу. Индекс показывает, что в сумму входят составляющие, связанные с узлом (в четырехблочном векторе для тетраидального элемента сохраняется блок узла

Матрица разрешающей системы (39) является редко заполненной (имеет небольшой процент ненулевых коэффициентов) и при надлежащем порядке нумерации узлов имеет ленточную структуру.

Часто используют механическую трактовку уравнения (39), при которой отдельные слагаемые рассматривают как обобщенные усилия, а величину

как матрицу жесткости элемента

Тогда если через обозначить узловые нагрузки, которые статически эквивалентны граничным напряжениям

то уравнение (39) для одного элемента (без учета температурных и дополнительных деформаций) имеет вид

Матрица жесткости элемента имеет блочную структуру, связанную с блочной структурой векторов

где — квадратные подма. трицы (блоки) размерности ),

где согласно

Подматрица показывает реакцию (обобщенное усилие) в узле тетраэдра (элемента от единичного смещения его узла при неподвижных узлах .

Так как вся конструкция состоит из совокупности элементов, то матрицы жесткости отдельных элементов объединяются в матрицу системы.

В одном узле сетки обычно сходятся несколько элементов и каждый из них вносит вклад в матрицу жесткости, и строка суммарной матрицы жесткости будет содержать соответствующие компоненты матриц жесткости элементов, примыкающих к узлу.

С учетом (39) матрица жесткости конструкции содержащей узлов,

Обозначая векторы внешних сосредоточенных в узлах сетки усилий и перемещений узлов сетки соответственно

получим систему линейных уравнений относительно узловых смещений

По физическому смыслу уравнение (46) представляет собой уравнение равновесия системы (в смещениях). Для получения единственного решения система должна быть дополнена граничными условиями в перемещениях.

Рис. 3. (см. скан) К расчету пластинки

Благодаря тому, что система уравнений (46) соответствует минимуму квадратичного функционала полной потенциальной энергии исследуемого тела, матрица этой системы симметрична и положительно определена. Эти ее свойства, а также ленточную структуру и «редкозаполнеиность» используют при решении системы точными методами (метод блочного исключения Гаусса, метод квадратного корня и т.

Определив из уравнения (46) узловые перемещения, можно по формулам (33) найти напряжения.

Описанный вариант метода конечного элемента является простейшим. Можно повысить порядок аппроксимации функций перемещения в элементе, вводя, например, дополнительные узлы на ребрах тетраэдра или используя элементы другой формы (прямоугольную призму и т.д.). При этом точность расчета повышается быстрее, чем при измельчении сетки простых элементов.

Метод конечного элемента может быть эффективно реализован при наличии полностью автоматизированной программы, реализующей все этапы расчета конструкции (идеализация конструкции, формирование системы (39) или (46), решение этой системы, подсчет напряжений и других величин). Программа должна быть универсальной, пригодной для широкого круга практических задач.

Весьма эффективны программы, имеющие блок автоматического разбиения области на элементы, сокращающие процесс составления и контроля обширной исходной информации. Целесообразно применять графический контроль (вывод на графопостроитель или экран дисплея) данных о геометрии области и характере ее разбиения, а также выходной информации.

Примеры расчета элементов конструкции методом конечных элементов приведены в гл. 28.

Ниже приведен пример решения простейшей задачи, иллюстрирующей основные особенности реализации метода конечных элементов.

Пример. Определить перемещения в квадратной пластинке толщиной 1 мм от заданной нагрузки (рис. 3, а).

Для большей наглядности разобьем пластинку всего на два треугольных элемента (рис. 3, б).

Для получения разрешающей системы уравнений сформируем предварительные матрицы [см. соотношение (40)].

С учетом равенства (9) матрица коэффициентов жесткости для плоского напряженного состояния имеет вид

Рассмотрим элемент Соотношения (27) для него будут такими:

Коэффициенты определяют через перемещения узлов из следующих систем уравнений (принято

и

где координаты узлов.

Определяя , из уравнений (49) и (50) и внося их в соотношения (48), получаем уравнения (28):

где коэффициенты выражаются через определители:

— коэффициент, численно равный площади элемента.

В данном случае (плоская задача) матрицы имеют вид

Для плоской задачи матрица дифференцирования принимает вид

Применяя соотношение (32), находим

или

где

Так как в рассчитываемом примере деформации постоянны в пределах

каждого элемента, то матрицы не зависят от х и у.

В этом случае соотношения (40) и (43) примут вид

Перейдем к расчету пластинки, рассмотрим элемент 1. По формулам (52) находим:

Из соотношений (53) получим функции, стоящие множителями у единичных матриц;

далее с учетом равенства (54) получаем матрицы

Используя эти зависимости, по формуле (57) находим блоки матрицы жесткости

Проводя аналогичные вычисления, получаем остальные блоки для матрицы жесткости 1-го элемента, которая в рассматриваемом примере будет иметь вид

(см. скан)

Матрица жесткости для элемента формируется аналогично:

Матрицу жесткости пластиики в соответствии с равенством (39) можно представить в виде (верхние индексы при показывают номер элемента)

(см. скан)

Принимая во внимание краевые условия запишем матрицы смещений и внешних сил

Значения реакций неизвестны. Однако благодаря использованию краевых условий для перемещений число уравнений уменьшается на 2, и единственное решение задачи получается путем «вычеркивания» 1-й и 3-й строк и таких же столбцов.

Таким образом, для определения неизвестных смещений используем уравнения

где

При получим систему уравнений

откуда

Для определения неизвестных реакций следует использовать соответственно 1-е и 3-е матричные уравнения. Для данного примера разрешающую систему уравнений можно получить значительно проще, путем подстановки функции и и соотношения (51) в уравнение (18) и удовлетворения условий (24). Однако для сложной задачи (с большим числом элементов) указанный алгоритм метода конечных элементов оказывается наиболее простым и универсальным.