РАСЧЕТ ПЕРЕДАЧ

Для расчета грузоподъемности и долговечности шариковинтовой передачи необходимо знать максимальное усилие, действующее на шарик. Это усилие можно найти, рассмотрев распределение нагрузки в передаче. В предварительных приближенных расчетах принимается равномерное распределение нагрузки.

Основные геометрические параметры профиля резьбы даны на рис. 3.

Общее решение. Уравнение совместности перемещений имеет вид (см. гл. 3)

где — удлинение и укорочение участков винта и гайки от 0 до (рис. 4); — сумма прогибов витков винта и гайки, а также контактной деформации в сечении (в осевом направлении); — то же в сечении 0 (индекс 1 соответствует вннту, 2 — гайке).

Перемещения определяют по формулам

Рис. 3. Основные геометрические параметры резьбы

Рис. 4 Схема соединения типа болт-гайка

а перемещения можно представить в виде

где — усилие на единицу длины линии контакта боковой поверхности витков; X и - безразмерные коэффициенты; — днаметр шарнка;

— шаг (расстояние между двумя шариками вдоль контактной линни); — угол подъема винтовой контактной линчи (при расчете на прочность можно считать

Интенсивность распределения осевых сил по высоте резьбы и усилия на единицу длины контактных линий связаны соотношением

где — шаг резьбы; — диаметр цилиндрической поверхности, на которой расположена линия контакта; — угол между направлением действия контактного усилия и плоскостью, перпендикулярной к оси резьбы.

Принято, что контактное усилие направлено нормально к поверхности контакта. Из условия равновесия шарика вытекает, что направление нормали должно быть общим для точек контакта на витках винта и гайки. Учитывая, что

где — площадь поперечного сечения винта или гайки, и используя зависимости (1), (3), (4), уравнение совместности деформаций запишем в виде 2 2.

где

Постоянная в уравнении (6) может быть определена из условия

где — осевое усилие, действующее на соединение; Н — длина свинчивания. Тогда

Внося выражение (11) в уравнение (6), запишем последнее в виде интегрального уравнения

где

Разберем случай соединения типа стяжки (рис. 5). В этом случае уравнение (6) принимает вид

Используя условие (10) для определения С, получим уравнение

в котором

Величины определяются по (13) и (14). Отметим, что при распределение нагрузки в соединениях типа болт—гайка и типа стяжки не отличаются.

Если то уравнение (12) имеет очевидное элементарное решение

т. е. если болт и гайка не испытывают деформаций растяжения или сжатия, то нагрузка по виткам распределяется равномерно.

Рис. 5. Схема соединения типа стяжки

В общем случае уравнение (12) может быть решено методом последовательных приближений по схеме

где — исходное и последующее приближения Для искомой функции

Принимаем первое приближение

тогда для второго приближения

Обозначая через правую часть равенства (20), получаем

Это уравнение легко сводится к кубическому, но в практических расчетах его действительный корень более удобно отыскать по методу Ньютона.

Предположим, опуская для простоты индекс 2, что

Разлагая функцию вблизи некоторой точки близкой к предполагаемому

значению корня, и сохраняя только первые члены разложения, найдем

откуда

Величину можно принять в виде

Формула (21) обычно дает достаточно точное решение, при необходимости подобным образом уточняют значение корня. Определив значения можно найти следующее приближение При вычислении по формуле (14) целесообразно использовать численное интегрирование по правилу трапеций. Расчет заканчивается при достаточной близости двух соседних приближений.

В большинстве практических задач достаточно ограничиться вторым приближением. Подобным образом можно решить уравнение (17), заменив на

Приближенное решение. Если величина не очень мала, приближенно можно считать

где — постоянные коэффициенты.

Уравнение (12) с учетом равенства (22) приведем к виду

Величина а в формуле (22) не оказывает влияние на распределение нагрузки. Если выбрать коэффициент таким, что аппроксимирующая прямая становится касательной при

Дифференцируя уравнение (23) дважды по находим

где

Из уравнения (24) с учетом известных граничных условий для соединения типа болт—гайка получаем закон распределения нагрузки в обычной резьбе:

где — параметр, зависящий от контактной деформации.

Для расчета необходимо знать упругогеометрические параметры и

Параметр определяется по формуле (7). Выведем соотношения для определения величин необходимых для вычисления у и

Представим общую податливость внтка винта и гайки в виде

где — податливость витка в результате деформаций изгиба, сдвига и радиального смещения основания; — контактная податливость. Первые два слагаемых обычно малы и в расчетах ими можно пренебречь.

Податливость витков винта в осевом направлении в результате радиального

смещения основания

податливость витков гайки

где — радиальные смещения основания витка вннта и ганки; — коэффициенты Пуассона материала вннта и гайки.

В соответствии с равенством (3)

что позволяет определить эначеине

Перемещение в результате контактной деформации (в осевом направлении) можно представить в виде

где сумма главных кривизн (приближенно рассматривается контакт шарика и цилиндрического желоба) — усилие на шарик; — модуль упругости материала шарика; — безразмерный коэффициент, зависящий от параметра

Сопоставляя формулы (3) и (26), находим

Максимальное контактное напряжение

где — безразмерный коэффициент, зависящий от параметра Значения коэффициентов даны в табл. 1.

Пример. Определим распределение нагрузки по виткам передач типа болт—гайка и типа стяжки. Дано: . Материал винта, гайки и шариков сталь Твердость контактирующих поверхностен Для определения упругогеометрических параметров передачи предварительно находим внутренние диаметры резьбы вннта и ганки (см. рис. 3):

Площади поперечных сеченнй Параметр . По табл. 1 находим Далее вычисляем

1. Значения коэффициентов

(см. скан)

Рис. 6. Изменение по длине гвинчивания соединения:

1 — болт-гайка 2 - стяжка

Для соединения типа болт—гайка получаем уравнение

Для соединения типа стяжки

На рис 6 показано изменение по длине свинчивания (кривые построены по решениям последних уравнений).

В результате контактных деформаций распределение нагрузки по виткам в шариковинтовых передачах более равномерное, чем в обычных резьбовых соединениях.

Максимальное усилие, действующее на шарик,

Для соединения типа болт—гайка , стщах для соединения типа стяжки

В длительно работающих передачах (детали из стали воспринимающих осевые усилия и имеющих параметры с числом витков 2-6 и числом шариков в витке контактные напряжения

При проектировании шариковинтовых передач, предназначенных для длительной эксплуатации, допускаемые контактные напряжения при

твердости контактирующих поверхностей деталей принимают равными , а при При кратковременной работе передачи

При более низкой твердости контактирующих поверхностей допускаемые напряжения понижают, т. е.

Значения коэффициента зависят от твердости контактирующих поверхностей детали передачи из хромистой стали: