ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ. ДЕЙСТВИЕ СЛЕДЯЩИХ НАГРУЗОК

В некоторых случаях нагружения стержней оценка потери устойчивости по условию возможности появления формы статического равновесия в изогнутом состоянии (подход Эйлера) оказывается недостаточной. Более общим является динамический анализ устойчивости, показывающий, как будет двигаться система после некоторого начального малого отклонения. В динамически устойчивом состоянии отклоненный стержень начнет колебаться (без учета сил трения) с постоянной амплитудой, в динамически неустойчивом состоянии прогибы Оудут неограниченно возрастать со временем. В динамическом анализе имеет значение не только распределение жесткостей, но и распределение масс стержня и на величина.

Для рассмотренных выше задач при постоянном направления сжимающие сил динамический анализ приводит к тем же результатам, что и статический. Для следящих нагрузок, направление которых меняется в зависимости от деформации стержня (напримир, реактивная сила стоук, электромагнитные силы в деформируемых проводни критическую нагрузку можно найти только динамическим анализом.

Найдем критическое значение следящей касательной силы в случае консольного стержня с сосредоточенной

Рис. 11. Действие следящей нагрузки а — общий случай, б - при

массой на конце. Момент инерции которой равен где — радиус ииериьи Для простоты заменим стержень сисземой из двух жестких стержней 1 и 2, иипчньы, двумя упругими шарнирами с коэффициентами жесткости с (рис 11, а).

При малом отклонении стержней перемещение у и угол поворота , массы соответственно

и уравнения вращатьльного движения стержней принимают вид

Если — начальные отклонения и , то устойчивому состоянию стержня будут соответствовать гармонические колебания

при которых из (47) получим однородную систему ураьнений

Система (48) им. решения, если ее определитель равеь нулю, т. е.

где

Корни уравнения (50) определяются формулой

В отсутствие сжимающей нагрузки и система имеет две различные собственные частоты колебаний:

где

По мере увеличения сжимающей нагрузки Р коэффициент уменьшается и при

выражение обращается в нуль, а обе частоты колебаний системы принимают одинаковое значение

При увеличении силы Р сверх критического значения система становится

динамически неустойчивой и ее движение после малого начального отклонения будет представлять собой колебания с неограниченно возрастающими амплитудами. Потеря устойчивости происходит в общем случае при значении , поэтому отклоненной статической формы равновесия система не имеет. Но очень большом моменте инерции концевой массы, когда значение и в этом случае динамическая величина совпадает со статическим значением для соответствующей системы с неповорачивающимся стержнем 2 (рис. 11, б).

Для упругого консольного стержня с сосредоточенной массой на конце коэффициент критической величины следящей силы в формуле (5) равен при при Для свободного стержня, к одному концу которого приложена следящая толкающая сила, я» 110.