Глава 20. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Если тонкий прямой стержень сжимать вдоль оси, постепенно увеличивая силу Р, то вначале он будет оставаться прямым, но затем при некоторой нагрузке называемой критической, стержень начнет резко изгибаться. Это явление называют потерей устойчивости (рис. 1). При потере устойчивости напряжения быстро возрастают, что может привести к разрушению детали. Для нормальной работы большинства конструкций потеря устойчивости недопустима. Обычно допускаемая нагрузка не превышает

Чтобы найти критическую силу рассмотрим условия, при которых сжатый стержень может находиться в изогнутом состоинии в условиях равновесия (рис. 2). При малых прогибах справедливо обычное уравнение изгиба

или

где

Рис. 14. Области применения приближенного решения для осесимметричной деформации колец: а — кольцо заделано в массивное тело — решение не пригодно; — кольцо оперто и имеет возможность поворота — решение может быть использовано

Общее решение уравнении (1)

для опертого по концам стержня должно удовлетворять граничным условиям что возможно, еслн Стержень может прогнуться только при условии Пока сжимающая сила Р мала, так что величина значение и стержень остается примолинейным. При

стержень может принять помимо прямолинейной формы, котораи становится

Рис. 1. (см. скан) Потеря устойчивости стержня при сжатии

Рис. 2. (см. скан) Осевое сжатие двухопорного стержня

неустойчивой, новую форму равновесия с изогнутой осью. Для определения величины прогиба при необходимо использовать в уравнении изгиба точное выражение кривизны стержня (см. рис. 2)

и учесть изменение расстояния между концами стержня в результате изгиба. При малых прогибах это приводит к выражению

При прогиб отсутствует, но при дальнейшем увеличении силы прогиб очень быстро растет. Так, если сжимающая сила превысит критическую всего на 1,5%, то стержень длиной прогнется на 11 см.

Критическую силу определяют по минимальному моменту инерции сечения. Величина зависит от условий закрепления, характера нагружения и конфигурации сечений стержня.

Из сравнения форм прогибов двухопорного стержня, консольного (рис. 3, а) и с двумя заделанными концами (рис. 3, б) следует, что условия потери устойчивости будут у них одинаковыми, если заменить длину стержня «приведенной» длиной для двухопорного стержня для консольного , а для стержня с заделанными концами

В общем случае формулу Эйлера (3) можно представить в виде

где

Рис. 3. (см. скан) Формы прогибов при по устойчивости стержней

Рис. 4. (см. скан) К общему случаю расчета критической нагрузки

Критической нагрузке соответствует напряжение сжатия

где коэффициент X характеризует приведенную гибкость стержня с учетом условий его опирания и нагружения:

Здесь — радиус инерции поперечного сечения,

С учетом выражения (7) формулу (5) можно записать в виде

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

Дифференциальное уравнение изгиба (1) можно записать в углах поворота

откуда

При действии на стержень в сечениях нескольких продольных сжимающих сил и распределенной продольной нагрузки (рис. 4)

где

В частном случае, при защемлении стержня в сечении когда

В безразмерном виде

где — значение при — критическое значение одной ил нагрузок или их суммы; значение в некоторой выбранной точке,

заданные отношения нагрузок при потере устойчивости.

Тогда из (11) — (15)

где — интегральный оператор;

Уравнение (16) решают методом последовательных приближений - по функции находят и из условия минимума среднего квадратического отклонения [1] — значение

и

В качестве исходного приближения выбирают функцию, удовлетворяющую кинематическим граничным условиям (для защемленного стержня ).

Пример. Найти коэффициент для консольного стержня постоянного сечения, сжимаемого силой на конце Принимая находим

что мало отличается от точного решения

В общем случае интегралы находят численно. При других граничных условиях меняется только вид оператора (17).