Глава 26. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

Появление и развитие ЭВМ изменило математические методы решения инженерных задач. Предпочтение отдается численным методам, поддающимся большей алгоритмизации и удобным для реализации на современных быстродействующих ЭВМ.

В основе численных методов лежит замена континуальной расчетной модели с непрерывным распределением параметров и бесконечным числом степеней свободы дискретной моделью, имеющей конечное число неизвестных, которое может быть и очень большим (в зависимости от требований, предъявляемых к расчету, и возможностей ЭВМ).

Большое распространение среди численных методов получил метод конечных элементов, который наиболее удобен для реализации на ЭВМ благодаря четкой формализации отдельных этапов решения задачи и матричной форме расчета.

Наряду с этим широко применяются и другие численные методы расчета (вариационные, разностные, интегральные и др.). В основе многих из этих методов лежат вариационные уравнения.

ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Из начала возможных перемещений следует, что действительному напряженному состоянию упругого тела соответствует минимум полной энергии деформации Ф, т. е. ее вариация:

где — потенциальная энергия деформации тела; — потенциальная энергия внешних сил; V — объем тела; — поверхность тела; — потенциальная функция деформации. Для равномерно нагретого тела — потенциальная энергия деформации на единицу объема тела, и — компоненты поверхностной и объем ой нагрузки; к — компоненты другого смещения, удовлетворяюще кинематическим граничным условиям.

Соотношение теории упругости в матричной форме имеет вид

где векторы-столбцы деформаций напряжений температурных и дополнительных деформаций:

— симметричная матрица упругих коэффициентов размерности Для изотропного упругого тела матрица упругости

(см. скан)

Вариация потенциальной функции деформации

где — симметричная матрица, обратная матрице упругости; — вектор температурных деформаций; — вектор дополнительных деформаций; верхний индекс — операция транспонирования;

Дополнительные деформации могут возникнуть в результате физико-химических процессов, происходящих в среде. В некоторых задачах оказывается удобным с помощью введения дополнительных деформаций описать пластичность и ползучесть среды.

Для изотропного тела с параметрами упругости и из уравнения (5) получим

где - модуль сдвига; — постоянная Ляме.

Для ортотроииого тела, матрица упругих деформаций которого имеет вид

(см. скан)

получим следующее выражение потенциальной функции деформации [1]:

где элементы матрицы коэффициентов жесткости:

причем

коэффициенты

Уравнение (1), учитывая связь деформаций и перемещений, можно записать в виде

Вариационное уравнение (13) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории упругости и граничным условиям задачи.

Вариационные методы, применяемые для приближенного решения, основаны на том, что уравнение (13) решается

для некоторого класса функций в предположении

где — заранее выбранные функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям.

Неизвестные параметры определяются из системы линейных уравнений

Для тел сложной конфигурации основная трудность состоит в выборе аппроксимирующих функций. Поэтому тело разбивают на малые, связанные между собой области, в пределах которых подбираются простые аппроксимирующие функции. По такому принципу строятся вариационно-раэностные методы и метод конечных элементов.