КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В валах поршневых машин (в двигателях внутреннего сгорания, поршневых компрессорах и т. п.) нередко возникают крутильные млебания, связанные с неравномерностью (по времени) вращающегося момента или момента сопротивления. Такие колебания могут возникать и в валах других машич. если крутят момент, передаваемый валом, не является постоянным

Расчет крутильных колебаний строят так же, как расчет односвязной ценной системы, изложенный ранее. Одной из основных задач расчета является определение собственных частот системы выявления резонансных оборотов.

Одномассовая система. Пусть имеется вал постоянного сеченчч с закрепленным на нем тиском (рис 8).

Рассмотрим сравнение движения (вращения) диска при отклонении его от положения равновесия на угол :

где — момент инерции массы диска ; — угол поворота, рад, М — момент, действующий на диск,

Знак минус в правой части равенства показывает, что момент создается силами упругости, препятствующими отклонению. Если жесткость вала обозначить через с, примем эта величина представляет собой момент в Н см, необходимый для закрутки зала на 1 рад, то

Из равенства (17) получаем

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

где круговая частота колебания:

Произвольные постоянные А и В определяют из начальных условий.

Если в момент , то

здесь а — амплитудное значение угла поворота при колебаниях

Уравнение (20) полностью аналогично уравнению (П причем вместо линейного смещения имеем угол поворота, вместо массы — момент инерции. Соответственным образом переносится и понятие динамической жесткости.

Рис. 9. (см. скан) Сечения валов

Жесткость вала на кручение. Для прямолинейного вала имеем

модуль упругости материала на сдвиг, для сгалей — полярный момент инерции сечения; для сплошного вала

для вала с отверстием

здесь наружный диаметр; — диаметр отверстич.

Если сечеиие валч ослаблено шпоночными канавками или шлицами (рис. 9), то в формуле (21) следует принимать

где — глубина канавки.

Значения коэффициента приведены На рис. 9. Для голого вала со шлицами

Рис. 10. Переходный участок вала

Если вал имеет ступенчатый переход (рис. 10), то участок с большим диаметром сразу включается в работу.

В равенстве длину с меньшим диаметром увеличивают причем при радиусе закругления можно принимать если

Если имеются часто повторяющиеся кольцевые выступы тнпя лабиринтных уплотнений, то определении жесткость их не учитывают

При совместной работе на кручение двух деталей, например при шлицевом соединении (рис. 11) или прессовой посадке, принимают, что внутренний вал закручивается с каждой пороны на При жесткости средней чгсти учитывает жесткость втулки

Момент инериии моментом инерции массы относительно оси называют сумму

Рис. 11. Совместное кручение вала и в гулки

Рис. 12. К определению момента инерции диска

распространенную на все частицы тела (здесь — расстояние до оси вращения):

где — плотность материала; V — объем тела.

Для диска (рис. 12) будем иметь

где М — масса диска, кг; момент инерции массы в .

Для деталей сложной формы момент инерции определяют экспериментально. Один из методов состоит в том, что на тонком валу (проволоке) подвешивают деталь, момент инерцни которой требуется определить. Отклоняя деталь от положения равновесия, вызывают крутильные колебания с периодом Т.

Рис. 13. Двухмассовая крутильная система

Рис. 14. (см. скан) Многомассовая крутильная система

Затем к той же проволоке подвешивают диск, момент инерции которого известен. Если период колебания этого диска равеи то

Частота крутильных колебаний. Для определения частот будем использовать метод динамических жесткостей.

Для двухмассовон системы (рис. 13 частоту можно определить из условия равенства нулю динамической жесткости в крайнем сечеиии. Последовательно находим

Из равенства (24) получаем

Эта система обладает еще и нулевой частотой, которая не представляет интереса при анализе колебаний.

Рассмотрим систему со многими массами (рис. 14) и в соответствии с методом динамических жесткостей разделим эту систему в сечении Г.

Так как амплитудный угол поворота в сечении Г для левых и правых частей одинаков, а направление крутящих моментов различно, то сумма динамических жесткостей левых и правых частей

Переходя от участка к участку, находим

далее

Подобным способом получаем

Затем строят графики и находят точки их пересечения (резонансные частоты)

Предварительно определяют значения при которых знаменатели обращаются в нуль (вертикальные асимптоты), и значения при которых числители обращаются в нуль.

Если представить динамические жесткости в виде отношения

то отыскиваются, следовательно, нули функций и функций

В практических задачах при большом числе масс иули функций находят построением графиков функций. В рассматриваемом случае указанные значения можно получить из аналитических формул

На рис. 14 показано решение уравнения, дающее собственные частоты колебаний.

Рассматриваемая система имеет четыре частоты, если считать также нулевую частоту.

В более сложных случаях частоту определяют с помощью специальных методов, из которых наиболее эффективным является метод Толле (метод остатка).