РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ

Для расчета напряженного и деформированного состояния элемента конструкции нагружение разбивается на ряд этапов. В большинстве случаев оказывается целесообразным проводить расчленение по этапам действительной истории нагружения во времени. На каждом этапе нагружения должны удовлетворяться уравнения равновесия

где — приращение напряжений на этапе нагружения; — приращение массовой силы; — плотность материала; — приращения смещения по координате х.

Приращения напряжений должны удовлетворять граничным условиям

где — направляющие косинусы нормали к элементу поверхности; — приращение составляющей по

Рис. 7. (см. скан) Модель материала

оси х поверхностей нагрузки на этапе нагружения.

Используя модель материала в виде последовательного соединения моделей упругости, пластичности и ползучести (рис. 7), для приращений деформаций получим

где вектор приращения деформаций

Учитывая ссютиошеиия для приращений деформаций упругости, пластичности и ползучести, найдем

где вектор температурных деформаций

и вектор скоростей деформации ползучести

В равенстве (54) первое слагаемое выражает приращение деформации упругости в связи с ростом напряжений, второе — подобное приращение деформации пластичности, третье — увеличение деформаций, вызванное повышением температуры, последнее — приращение деформаций ползучести. Вектор температурных деформаций состоит из трех векторов. Первый учитывает обычную температурную деформацию, второй и третий — влияние температуры на упругие и пластические свойства материала.

Функции в случае разгрузки принимают равными нулю.

Для расчета можно использовать метод переменных параметров упругости или метод дополнительных деформаций.

В методе переменных параметров упругости уравнение (54) записывают в форме

где

Для этого надо представить второе слагаемое в равенстве (54) в виде

Учитывая, что

или

и сопоставляя однородные члены в равенстве (59), найдем элементы симметричной матрицы размерности :

Уравнения (57) соответствуют анизотропному упругому телу с дополнительными деформациям», параметры упругости зависят от напряженного состояния. Интегрируя соотношение (57) но времени для этапа нагружения, получим

где угловые скобки означают среднее значение.

При расчете используют процесс последовательных приближений. В первом приближении полагают

т. е. принимают параметры упругости, соответствующие напряженному и деформированному состоянию в конце предшествующего этапа нагружения. Принимают сначала, что характер нагружения (нагрузка или разгрузка) остается таким же, как и на предшествующем этапе. Аналогичное предположение принимают для векторов

Далее проводят расчет этапа нагружения анизотропного упругого тела с заданными дополнительными деформациями. После расчета проверяют условия возникновения пластической деформации:

где — интенсивность напряжений в конце этапа нагружения; — предел текучести, соответствующий температуре и накопленной интенсивности Пластической деформации в конце этапа нагружения; приращение температуры на участке нагружения; — приращение интенсивности напряжений.

Если характер нагружения на этапе остается таким же, как в предыдущем то корректировка значения не требуется. Если на этапе предполагали нагружение, но после расчета условия (66) и (67) оказались не выполненными, то расчет этапа следует провести заново, положив

Если на этапе предполагали разгрузку [использовали соотношение (68)], но в действительности было нагружение, то расчет следует провести заново, принимая по равенству (64).

В результате рассмотренной процедуры в первом приближении устанавливают приращение напряжений и деформаций на этапе и значение

Если принятые вначале величины и полученные после расчета значения доет точно близки, то расчет этапа закачивают и приступают к следующему шагу. Если расхождение параметров упругости велико, полагают

и проводят расчет второго приближения.

Расчет этапа заканчивают при достаточной близости двух соседних приближений, после чего приступают к расчету следующего этапа. При проведении расчетов подобным образом уточняют значения

В методе дополнительных деформаций соотношения (54) представляют в форме

Рис. 8. (см. скан) Схема расчета по методу дополнительных деформаций при сложном нагружении

где вектор дополнительной деформации

Вектор температурной деформации в упругом материале

Вектор температурной деформации, связанный с пластическими деформациями,

Интегрируя соотношение (70) по времени для этапа нагружения, получим

Основная трудность расчета состоит в том, что приращение пластической деформации (второе слагаемое правой части) заранее неизвестно и находится в процессе последовательных приближений.

Процесс деформирования будем рассматривать в координатах (рис. 8), причем накопленная интенсивность деформации

Обобщенная кривая деформирования представляет собой обычную кривую деформирования при растяжении образцов, так как для этого случая

Для расчета необходимо иметь сетку кривых деформирования при различных температурах (термомеханическую поверхность деформирования). В первом приближении проводят расчет напряжений и деформаций, предполагая материал упругим, а дополнительные деформации отсутствующими Далее считают, что из расчета предшествующего этапа известны величины следовательно, положение изображающей точки на кривой деформирования при . Если точка находится внутри отрезка например то первое приближение завершает расчет. Рассмотрим поэтому случай, когда точка расположена на кривой деформирования и (см. рис. 8).

При расчете первого приближения значения принимают соответствующими точке

После проведения расчета проверяют выполнение условия нагружения (67). Если имеет место нагружение, то

определяют величину интенсивность приращений деформаций, полученных из уравнения (74).

Полагая

где — касательный модуль в точке проводят расчет второго приближения, в котором дополнительную пластическую деформацию считают равной

В расчете принимают среднее значение функции по ее значениям для точек

При наличии пластической деформации учитывают также дополнительную температурную деформацию

Подобным образом проводят расчет следующего приближения. Расчет заканчивают при достаточной близости двух соседних приближений. В результате расчета находят приращение напряжений и деформаций на этапе нагружения, векторы напряжений и деформаций в конце этапа нагружения, значения Для начала расчета следующего этапа точку (при заданных значениях переносят на кривую деформирования, соответствующую температуре Расчет этапа проводят по указанной выше процедуре.

Пример. Рассмотрим задачу об упругопластическом изгибе стержня прямоугольного сечення при . Стержень (рис. 9) изготовлен из стали кривая деформирования приведена на рис. 10.

Расчет по переменных параметров упругости выполним по схеме, описанной выше.

Рис. 9. Расчетная схема задачи

Напряжения изгиба в стержие

В первом приближении материал принимаем упругим, и при

Деформации в каждой точке стержня соответствует по кривой деформирования напряжение (рис. 10) и модуль упругости

Во втором приближении М

Далее найдем и перейдем к следующему приближению. На рис. 11 показано распределение

Рис. 10. Кривая деформирования

Рис. 11. Распределение напряжений в поперечном сечении стержня при изгибе

напряжений по сечению стержня в первом и третьем приближении При расчете принимали, что кривые деформирования при растяжении и сжатии одинаковы.

Расчет по методу дополнительных деформаций также выполним по схеме, описанной выше.

Напряжения изгиба в стержне при введении в расчет дополнительных деформаций вычислим по соотношению

Учитывая, что в рассматриваемом методе основной является упругая задача, при запишем

В первом приближении принимаем, что и

Деформации соответствует по кривой деформирования напряжение и упругая часть деформации

Дополнительная деформация в каждой точке сечения

Во втором приближении

Далее найдем и перейдем к третьему приближению. Расчет закончим при малой разности между

Существенное преимущество этого метода состоит в том, что упругая задача решается лишь один раз, что позволяет значительно сократить длительность расчета при численном решении задач упругости, пластичности и ползучести. Оба метода расчета приводят практически к одинаковым результатам.