ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ПРЕДЕЛОВ ПРОЧНОСТИ

В этом случае вероятность разрушения может быть определена из следующих соображений.

Пусть имеется переменное напряжение Вероятность того, что предел выносливости окажется меньше данной величины (наступит разрушение), будет

где функция распределения случайной величины ,

Для нахождения вероятности разрушения следует учесть все возможные значения (все несовместимые пути реализации события) и по формуле полной вероятности

Подобным образом находим равнозначное условие

Нахождение вероятности разрушения теперь сведено к вычислению интеграла (16) или (17).

В общем случае запас прочности может быть представлен в виде

где — эквивалентное напряжение.

Например, при одновременном действии нормальных а и касательных напряжений

Для длительной прочности при нестационарном режиме нагружения функция неразрушения зависит от общего времени работы

Для длительной статической прочности или сопротивления усталости справедлив степенной закон связи и времени (числа циклов) до разрушения

где — постоянные материала, зависящие от температуры.

Если действующее напряжение в момент времени

где — случайная величина, — детерминированная функция времени, то при линейном законе суммирования повреждений

Для сопротивления усталости при нестационарном нагружении функцня неразрушения от общего числа циклов нагружения

В каждый момент нагружения действующее напряжение

Учитывая зависимости типа (21)

получим

Равенства (23) и (26) справедливы при постоянной температуре.

Для расчета должны быть известны среднее значение и среднее квадратическое отклонение пределов прочности и эквивалентного напряжения, причем

При нормальном распределении указанных величин используют соотношение (11). Вероятность разрушения зависит в рассматриваемом случае от времени работы.

Доверительные пределы для вероятности разрушення. При расчете вероятности разрушения по формуле (11)

предполагают, что статистические характеристики пределов выносливости и действующих напряжений относятся к генеральной совокупности (выборке бесконечно больших размеров).

В действительности указанные величины определяют по выборке (объему испытаний), содержащей конечное число образцов.

Если при определении действующих напряжений использованы результаты испытаний, то

Соответственно для пределов прочности — число испытаний)

Оценим приближенно наибольшее значение вероятности разрушения.

Очевидно, что оно реализуется при минимальной разности средних значений и максимальном значении

Будем использовать с доверительной вероятностью следующие односторонние оценки

Тогда из равенства (11) получим приближенную оценку

Для расчета может быть использовано и равенство (14). Доверительную вероятность оценки (30) можно приближенно принять равной

Пример. Определить вероятность разрушения лопаток, если известно, что среднее значение переменных напряжений и среднее квадратическое отклонение (по данным тензометрирования); среднее значение предела выносливости и среднее квадратическое отклонение (по данным испытаний на выносливость).

Решение. Находим по формулам

Вероятность разрушения по формуле (11)

По таблице значений функции Лапласа

По приближенной формуле (14)

Значения вероятности разрушения, вычисленные по средним значениям и с учетом рассеяния экспериментальных данных, существенно расходятся между собой. В практических расчетах следует указывать, при каких условиях получено расчетное значение вероятности разрушения.

Вероятность разрушения как характеристика прочностной надежности правильно отражает качественные особенности задачи: она возрастает при уменьшении запаса прочности и увеличении рассеяния нагрузок и механических свойств материалов. Однако ее использование как нормативной характеристики для определения отказов ответственных конструкций (разрушений с тяжелыми последствиями) ограничено:

а) значение вероятности разрушения зависит от «хвостов» распределений, которые даже по выборкам большого объема определяются весьма неточно (погрешность может составлять несколько порядков). В связи с этим расчетная вероятность разрушения носит условный характер. Реальный смысл имеет только сравнение элементов выполненных и вновь проектируемых конструкций, проводимое в сопоставимых условиях;

б) при расчете допускается возможность аварии (катастрофы), это создает затруднения психологического характера.

Рассмотренная статистическая модель пригодна для отказов с ограниченными последствиями, для которых допустимо использование вероятностей разрушения

Более обоснованно нспользованне в качестве нормативных характеристик, особенно для прочностных отказов с тяжелыми последствиями, статистических запасов прочности.