Глава 23. РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК

КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ

Расчетные формулы. Многие детали (например, диски) рассчитывают на изгиб как круглые пластинки постоянной или переменной толщины , симметрично нагруженные давлением в Н/см2, или отнесенными к единице длины нагрузками в Н/см и моментами в (см. рис. 1). В центре сплошной пластинки может быть приложена сосредоточенная сила Р в Н.

В сечениях пластиики действуют поперечная сила и изгибающие моменты (рис. 2).

Рис. 1. Нагружение круглой пластинки

Рис. 2. Поперечная сила и изгибающие моменты в круглой пластинке

Нормальные напряжения меняются по толщине пластинки по линейному закону; их максимальные значения у поверхности

где плюс относится к иижией стороне пластинки.

Из условий равновесия элемента пластиики (рис. 2)

и соотношений упругости

получают дифференциальное уравнение

где — коэффициент Пуассона; — прогибы пластинки (вверх).

Последовательным интегрированием уравнения (4) в пределах от — а до находят:

Нагрузки могут быть приложены на любом радиусе в пределах или Начальные параметры и определяются граничными условиями на краях.

Например, для края

свободный край

шарнирная опора

скользящая опора

заделка

где — контурные нагрузки.

Аналогично записываются условия при

Функции влияния определяются следующими выражениями: пластинка с отверстием,

(см. скан)

пластинка без отверстия,

где — радиус центральной площадки, на которую действует сила

Функции влияния определяются соответствующими формула при замене радиуса а на

радиусы Функции для произвольной нагрузки имеют

где

Для равномерной нагрузки а, приложенной к участку пластинки от до (см. рис. 1):

где

Формулы позволяют рассчитывать круглые пластинки при любых условиях закрепления и нагрузки.

Пример 1. Рассчитать пластинку, заделанную по внутреннему контуру и нагруженную изгибающим моментом по внешнему контуру. Полагая в формулах (5) и находя из условия

получим

Пример 2. Рзссиать пластинку без отверстия, опертую по наружному контуру и нагруженную распределенной нагрузкой, меняющейся по линейному чакону (рис. 3), По формулам находим

Рис. 3. Пластинка под распределенной нагрузкой, меняющейся по линейному закону

Полагая в формулах (5) и находя из условия

получим

(см. скан)

Пример 3. Рассчитать пластинку без отверстия, заделанную по наружному контуру и нагруженную в центре сосредоточенной силой . Полагая в формулах (5) и находя из условия

получим с учетом выражений (7) при

(см. скан)

В точке приложения сосредоточенной силы Я расчетные моменты и напряжения стремятся к бесконечности. Поэтому сосредоточенную силу надо прикладывать к пластинке через жесткий центр, относительный радиус которого определяют из условия ашах вследствие чего

где для пластинки с шарнирной опорой по нагруженному контуру

с заделкой по наружному контуру

При получаем из формул (12) и (13) соответственно

Расчеты с помощью таблиц. Для удобства расчетов в табл. 1 приведены значения функций определенные по формулам — по формулам при в зависимости от параметра х, соответственно равного отношениям или Если в качестве х принять отношения или получим значения функций

Пример 4. Для пластинки без отверстия, заделанной по наружному контуру и нагруженной на радиусе распределенной нагрузкой найти прогиб на радиусе Положим в формулах (5)

Из условия

где согласно табл. 1 при и при находим

Далее, из условия

где находим , полагая для величину определяем

Для наиболее важных случаев нагружения в табл. 2 при приведены значения безразмерных коэффициентов максимальных напряжений прогибов и углов поворота Если на пластинку действует давление то

Если действует сосредоточенная в центре сила , то

Для распределенной по окружности нагрузки в формулах (16) надо заменить на

Если приложен распределенный по окружности момент надо в формулах (16) заменить на Знак при или соответствует нижней стороне пластинки. В точках заделки На радиусе приложения момента коэффициенты напряжений претерпевают скачки

Комбинируя данные табл. 2, можно получать решения для более сложных схем нагружения и опирания.

Пример 5. Для схемы нагружения на рис. 4, а найти прогиб в центре пластинки. Разобьем пластинку на две части (рис. 4, б): 1 — нагружение соответствует схеме 15 при и схеме 17 при и II — нагружение по схемам 1 и 5 при Суммируя деформации от силы Р и неизвестного момента , найдем отношение из условия равенства углов поворота обеих частей при для чего в схемах 15 и 17 надо принять

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 4. Расчет сложной пластинки

, а в схемах Так как

то

где , а цифры в индексе при указывают номер ветствующей схемы в табл. 2. Прогиб при

Например, для в схемах 1 и 5 следует положить , тогда

Температурные напряжения. Если температура меняется по толщине и вдоль радиуса пластинки , где — расстояние от срединной плоскости то в основных соотношениях (5) появляются дополнительные члены пластинка с отверстием,

(см. скан)

пластинка без отверстия,

(см. скан)

здесь

При в формулах (18)

поэтому

Для температурного поля, симметричного относительно срединной плоскости пластинки, При линейном законе

где — разность температур поверхностей;

Пример в. Найти температурные напряжения и деформации в пластинке без отверстия для постоянной по радиусу разности температур при свободном и заделанном наружном контуре. Если то по формулам

Для свободного контура и напряжений в пластинке нет, а ее кривизна постоянна. При заделанном наружном контуре т.е. но (пластинка остается плоской). Максимальные температурные напряжения в пластинке будут

Выражение (20) справедливо для пластинки, защемленной по любому контуру.