ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОЛЕЦ

Под действием осевой силы (рис. 5) кольце испытывает осесимметричную деформацию — сечение кольца поворачивается на некоторый угол. В общем случае на кольцо могут действовать равномерно распределенные силы и моменты (рис. 6, сила в Н/см распределена по окружности радиусом момент в — по окружности радиуса и сечение кольца получит радиальное перемещение и поворот на угол против часовой стрелки (рис. 7). Рассмотрим приближенное решение, основанное на допущении, что деформации в плоскости сечения кольца отсутствуют (физическая модель такой расчетной схемы — кольцо из жестких шайб, связанных кольцевыми упругими нитями). Начало координат помещено в центре тяжести сечения. Относительное удлинение в окружном направлении

По закону упругости напряжение а окружном направлении

где Е — модуль упругости материала.

Неизвестные зеличины входящие в что равенство, определяют из условий равновесия половины кольца (рис. 8):

где и М — растягивающая сила и момент в сечении кольца. усилия уравновешивают половину кольца. Плоскость действия момента перпендикулярна оси Для вычисления используют формулы (см. рис. 6)

где суммирование распространяется на все приложенные нагрузки.

Внося равенство (15) в условия (16), находим

Разберем два основных случая. Размеры поперечного сечения кольца малы по сравнению с радиусом. В этом случае можно считать где — радиус окружности центров тяжести сечений.

Учитывая, что

так как ось х проходит через центр тяжести сечения, из уравнений (19) и (20) получаем

где — площадь поперечного сечения кольца; — момент инерции сечения кольца относительно осн, проходящей через центр тяжести и перпендикулярной к оси кольца.

Из равенства (15) вытекает;

Рис. 5. (см. скан) Осесимметричная деформация кольца (кручение кольца) под действием осевой силы

Рис. 6. (см. скан) Распределенные внешние силы и моменты, приложенные к кольцу

Рис. 7. (см. скан) Деформация кольца

Рис. 8. (см. скан) Растягивающее усилие и момент в поперечном сечении кольца

Рис. 9. Кольцо прямоугольного сечеиия под действием осевой силы

Кольцо под действием осевой силы. В этом случае (см. рис. 5) общая осевая сила

Из формул (17) и (18)

где — разность радиусов опорных окружностей.

Угол поворота кольца

Осадка кольца (вертикальное перемещение точки приложения силы)

Напряжения в поперечном сечении кольца

Для кольца прямоугольного сечения (рис. 9)

Наибольшие напряжения

Растягивающие напряжения действуют при сжимающие — при

Кольцо под действием радиальной нагрузки. В этом случае (рис. 10) .

Далее находим

Напряжение в кольце

Температурные напряжения. Рассмотрим неравномерно нагретое кольцо при действии внешних нагрузок. Вследствие влияния температуры модуль упругости в различных точках сечения может иметь различные значения.

Деформация кольца

Начало координат осей х, у помещено в приведенный центр тяжести сечения, так что

Рис. 10. Кольцо прямоугольного сечёняя под действием радиальной нагрузки

Рис. 11. Общий случай расчета осесимметричной деформации кольца, когда размеры поперечного сечения соизмеримы с радиусом

При его определении единице площади поперечного сечения приписывают «вес» Е.

Напряжение в кольце

Вторая группа членов в этой формуле выражает температурные напряжения.

Размеры поперечного сечения кольца соизмеримы с радиусом. В этом случае равенство не используют, а положение оси (размер с, рис. 11) определяют из условия

что

Расстояния и с можно отсчитывать от произвольной оси, в данном случае вспомогательная ось проходит через верхнюю точку сечения.

Ось у направлена параллельно оси кольца и проходит через центр тяжести сечения.

Из уравнений (19) и (20) при условии (7) находим

Напряжения в поперечном сечении кольца

Кольцо прямоугольного сечения под действием осевых сил. На кольцо действуют распределенные силы и распределенный момент (рис. 12).

Силовые факторы определяем по формулам (17) и (18)

Рис. 12. Кольцо прямоугольного сечения под действием распределенных усилий и момента

Равенство (26) будет удовлетворено, если ось х проходит через центр тяжести сечення.

Далее вычислим

Угол поворота кольца по формуле (29)

Напряжения в кольце

Если близки между собой, то и формулы (31) и (32) совпадают (при ) с полученным ранее решением для кольца, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с радиусом.

Коническое кольцо. Тонкостенное кольцо находится под действием осевых распределенных (рис. 13).

Введем вспомогательные координаты , тогда

С достаточной точностью можно положить

Рис. 13. Коническое кольцо под действием распределенных осевых сил

Для определения с по равенству (27) вычисляем

и находим

Далее определяем

Напряжения в кольце

Осадка кольца (сближение точек приложения сил и 94)

Пределы применимости приближенного решения. Приведенное решение основано на допущении, что сечение кольца не деформируется. Следовательно, для случая, показанного на рис. 14, а, изложенное решение не пригодно, тогда как для случая, изображенного на рис. 14, б, изложенное решение можно использовать.

Еслн то целесообразно применять решение, основанное на формулах (21) и (22), при — более сложное решение [формулы (28) - (30).

Для тонких пластин при приближенное решение часто дает большие погрешности и приходитси использовать теорию пластин (см. гл. 23).