МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Метод минимального риска. Этот метод был развит в связи с задачами радиолокации, но может вполне успешно использоваться в задачах технической диагностики.

Пусть проводится измерение параметра х (например, уровня вибраций изделия) и на основании данных измерений требуется сделать вывод о возможности продолжения эксплуатации (диагноз — исправное состояние) или о направлении изделия в ремонт (диагноз — неисправное состояние).

На рис. 1 даны значения плотности вероятности диагностического параметра х для двух состояний.

Пусть установлена контрольная норма для уровня вибраций .

В соответствии с этой нормой принимают:

Знак означает, что объект с уровнем вибраций х относят к данному состоянию.

Из рис. 1 следует, что любой выбор величины связан с определенным риском, так как кривые пересекаются.

Существуют два вида риска: риск «ложной тревоги», когда исправное изделие признают неисправным, и риск «пропуска цели», когда неисправное изделие считают годным.

В теории статистического контроля их называют риском поставщика и риском приемщика или ошибками первого и второго рода.

При данном вероятность ложной тревоги

и вероитность пропуска цели

Задача теории статистических решений состоит в выборе оптимального значения

По способу минимального риска рассматривается общая стоимость риска

где — «цена» ложной тревоги; — «цена» пропуска цели; — априорные вероятности диагнозов (состояний), определяемые по предварительным

Рис. 1. Плотность вероятности диагностического признака

статистическим данным. Величина представляет собой «среднее значение» потери при ошибочном решении.

Из необходимого условия минимума

получаем

Можно показать, что для одномодальных распределений условие (23) всегда обеспечивает минимум величины Если стоимость ошибочных решений одинакова, то

Последнее соотношение минимизирует общее число ошибочных решений. Оно вытекает также из метода Байеса.

Метод Неймана—Пирсона. В этом методе исходят из условия минимума вероятности пропуска дефекта при допустимом уровне вероятности ложной тревоги.

Таким образом, вероятность ложной тревоги

где — допустимый уровень ложной тревоги.

В рассматриваемых однопараметрических задачах минимум вероятности пропуска цели достигается при

Последнее условие и определяет граничное значение параметра (значение

При назначении величины а учитывают следующее:

1) число снимаемых с эксплуатации изделий должно превышать ожидаемое число дефектных изделий в силу неизбежных погрешностей метода оценки состояния;

2) принимаемое значение ложной тревоги не должно, без крайней необходимости, нарушать нормальную эксплуатацию или приводить к большим экономическим потерям.

В практических задачах можно принимать

где к — коэффициент избыточности.

При дефектах с ограняченными последствиями принимают

При опасных дефектах

Можио использовать другой подход — определять исходя из выбранного уровня пропуска дефекта. Тогда

причем можно принимать

где — коэффициент избыточности общее число изделий, находящихся в эксплуатации. Во всех случаях чтобы вероятность пропуска дефекта была пренебрежимо малой.