НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ

В основе технической теории изгиба лежит гипотеза плоских сечений: точки поперечного сечения после деформации лежат в одной плоскости. Принятая гипотеза подтверждается экспериментом.

Относительные удлинения волокон при изгибе. Рассмотрим плоский изгиб стержня. Выбранная система координат показана на рис. 7. Ось направлена вдоль оси стержня, ось у лежит в плоскости изгиба, совпадает с центром тяжести сечения.

В силу гипотезы плоских сечений можно считать, что сечение стержня получает поворот вокруг оси х на угол и осевое смещение вместе с началом координат (точкой О). Величины и в, изменяются по длине стержня.

Удлинение волокна стержня, находящегося на расстоянии у от плоскости (рис. 8), будет

Длина отрезка равиа Отрезок

Следовательно,

где — удлинение волокиа стержня, совпадающего с осью

Для упрощения вывода не рассматривались смещения сечений по оси у (вертикальные прогибы), так как они (в пределах малых деформаций) не влияют на удлинение отрезка

Нормальные напряжения при изгибе. В соответствии с законом упругости

Рис. 7. Изгиб стержня

Рис. 8. Деформации при изгибе

где — напряжение в плоскости поперечного сечения стержня (напряжение вдоль волокон); Е — модуль упругости материала.

Напряжениями, действующими на боковые поверхности волокон, пренебрегаем. Из уравнений (2) и (3) следует.

Так как внешняя сила вдоль оси отсутствует, то из условия равновесия (рис. 9) следует

где интеграл распространяется на всю площадь поперечного сечения.

Подставляя значение а из равенства (4) и предполагая модуль упругости постоянным, найдем

Так как как статический момент относительно прямой, проходящей через центр тяжести, то .

Момент, создаваемый напряжениями о, должен быть равен

Направление момента показано на рис. 9.

Рис. 9. Напряжения изгиба

Подставляя значение из равенства (4) и учитывая, что , находим

Величину

называют моментом инерции сечения относительно оси х. Следовательно,

Внося это значение в равенство (4), получаем основную расчетную формулу

Знак минус в формуле (7) необходим для согласования правила знаков, принятых для момента (положительно направленный момент вызывает сжатие в верхних волокнах), для напряжения о (положительная величина соответствует растяжению) и величины у (положительное направление принято вертикально вверх).

В точках плоскости (для этих точек напряжение изгиба отсутствует, и эту плоскость называют нейтральной. Ось проходящую через центр тяжести сечения и перпендикулярную к плоскости изгиба, называют нейтральной линией.

Распределение напряжений изгиба по поперечному сечеиию вдоль

Рис. 10. Распределение напряжений изгиба по сечению

прямой показано на рис. 10. При изгибе часть волокои растягивается, а часть сжимается. В точках, одинаково удаленных от нейтральной линии (оси х), напряжения одинаковы.

Наибольшие напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (точки ). Напряжения изгиба в этих точках

Очень часто пользуются понятием момента сопротивления. Если точка сечеиия, иапрнмер точка А, находится на расстоянии у от оси, то момент сопротивления в этой точке .

Иногда под моментом сопротивления понимают наименьшее значение для сечеиии: , где — расстояние наиболее удаленного волокна от нейтральной линии.

Формулы для и некоторых сечений были приведены в табл. 2 на с. 17.

Формула (7) справедлива и для стержня переменного сечеиия, если входящие в величины относить к рассматриваемому сечеиию.

Нормальные напряжения в общем случае изгиба и растяжения стержня. В общем случае на стержень могут действовать изгибающие моменты и растягивающее усилие (рис. 11).

На основании гипотезы плоских сечеиий аналогично равенству (2)

где — деформация, связанная с продольным перемещением сечения; — углы поворота сечеиия стержня относительно осей х и у соответственно.

Если учесть температурные деформации, то на основании закона упру гости

где Т — температура в дайной точке сечеиия; а — коэффициент линейного расширения.

Вследствие неравномерного нагрева модуль упругости материала Е может быть различным в разных точках сечения.

Равенство (10) запишем в форме

Деформацию в стержне характеризуют три параметра: Для их определения воспользуемся условиями равновесия:

Рис. 11. (см. скан) Общий случай изгиба и растяжения стержня

В этих равенствах интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения F.

В нося в последние зависимости соотношение (11), получим

Эти уравнения можно упростить соответствующим выбором осей х и у. Выберем положение начала системы координат (точку О) так, чтобы удовлетворялись равенства

В этом случае точку О называют приведенным центром тяжести сечения. Если модуль упругости во всех точках сечения одинаковый, то приведенный центр тяжести совпадает с обычным.

После того как положение начала координат стало определенным, повернем оси х, у в плоскости сечения так, чтобы удовлетворялось равенство

Оси координат, удовлетворяющие условиям (16) и (17), называют приведенными главными осями сечения.

Для постоянного модуля упругости во всех точках сечения приведенные и главные осн совпадают с обычными главными осями. Способ определения приведенных главных осей сечения описан ниже.

С учетом условий (16) и (17) из уравнений (13), (14) и (15) получим

Внося значения в уравнение (11), получим окончательную формулу для напряжений в стержне

(см. скан)

Первая группа членов в этой формуле выражает напряжения в стержне от внешних сил, вторая — температурные напряжения.

Если модуль упругости во всех точках сечения одинаков, то из равенства (21) вытекает

где — главные моменты инерции сечения.

Если точки сечення стержня имеют одинаковую температуру, то из формул (21) и (22) следует, что температурные напряжения в рассматриваемом сечении отсутствуют. В этом случае напряжения в поперечном сечеиии стержня

Из этой формулы вытекает возможность раздельного определения напряжений растяжения (сжатия) и напряжений изгиба (второй и третий член в формуле), которые, в свою очередь, можно определять раздельно относительно каждой из главных осей сечения.

Определение приведенных главных осей сечения. Используем произвольную вспомогательную систему координат 11 (рис. 12).

Координаты приведенного центра тяжести сечения О:

Угол поворота приведенных главных осей х и у

Определение приведенных главных осей и центра тяжести не отличается от обычного способа, если только элементу площади условно приписать «вес» Е. Отсюда следует, что приведенный центр тяжести будет смещаться относительно обычного в сторону, где модуль упругости материала больше.

Пример. Определить температурные напряжения в стержне прямоугольного сечения (рис. 13). Температура распределяется по параболическому закону

По толщине стержня температура постоянна. Предполагаем, что модуль упругости Е и коэффициент линейного расширения а постоянны. Из формулы (22) находим

В центре стержня

в крайних точках

Рис. 12. Определение приведенных главных осей сечения

Рис. 13. (см. скан) Температурные напряжения в стержнях прямоугольного сечення

Для стержня из жаропрочного сплава при находим

Касательные напряжения при изгибе. Если изгиб создается поперечными силами, то в сечении стержня будут действовать касательные напряжения, уравновешивающие перерезывающую силу.

Влияние касательных напряжений на прочность и жесткость существенно только для коротких стержней, высота сечения которых составляет не менее 1/3 его длины.

При определении касательных напряжений считают, что они не влияют на величину нормальных напряжений изгиба. Это позволяет определить касательные напряжения из условия равновесия.

Рассмотрим равновесие части элемента стержня длиной (рис. 14).

Нормальная сила, действующая на рассматриваемую (заштрихованную) часть сечения, площадь которой составляет

Эта сила изменяется по длине стержня вследствие изменения величины а. Приращение силы должно уравновешиваться касательными напряжениями на горизонтальной площадке Таким образом,

или

Вследствие парности касательных напряжений такие же напряжения будут действовать в соответствующих точках поперечного сечения. Нормальное напряжение в слое на расстоянии от нейтральной осн

тогда

Величина — статический момент отсеченной части сечения. Далее находим

где — перерезывающая сила в сечении.

В соответствии с равенством (26) получаем формулу для касательных напряжений в стержне

Равнодействующая касательных напряжений равна перерезывающей силе.

Для касательных напряжений в стержне прямоугольного сечения (рис. 15)

Рис. 14. (см. скан) Равновесие элемента стержня

Рис. 15. (см. скан) Распределение касательных напряжений при изгибе стержня прямоугольного сечення

Из формулы (28) получаем

Распределение напряжений показано на рис. 15. Наибольшее напряжение имеет место при :

где среднее касательное напряжение.