УПРУГАЯ ЛИНИЯ СТЕРЖНЯ

Уравнение упругой линии. Ось стержня в изогнутом состоянии называют упругой линией. В пределах малых деформаций угол поворота сечения (рис. 16), если пренебречь деформацией сдвига,

В соответствии с равенством

где — изгибающий момент в сечении (рис. 17, а).

Далее имеем

Выражение (29) представляет собой дифференциальное уравнение упругой линии стержня. Оно справедливо и для стержней переменного сечения. Иногда уравнение упругой линии используют в другой форме — из уравнения (29):

Рис. 16. Связь между углом поворота сечения и

Рис. 17. К выводу уравнения упругой лнннн с учетом деформации сдвига

дифференцируя по

где — перерезывающая сила в сечении. Повторив дифференцирование, получаем вторую форму дифференциального уравнения упругой линии:

где — нагрузка на единицу длины стержня.

Уравнение упругой линии с учетом влияния перерезывающей силы. Если учесть деформацию сдвига (рис. 17, б), то угол поворота сечения

где — деформация сдвига, пропорциональная величине перерезывающей силы в сечении:

здесь — безразмерный коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения; — модуль сдвига; — площадь поперечного сечения.

Из энергетических расчетов

[см. обозначения к формуле (27)]. Для стержня прямоугольного сечения для сплошного круглого сечеиия для тонкостенной трубы

Из равенств (31) и (32) находим

Дифференцируя с учетом зависимости (6) и влияния перерезывающей силы, получаем дифференциальное уравнение упругой линии

Влияние перерезывающей силы на прогибы стержня учитывают в том случае, когда высота сечения соизмерима с его длиной (см. примеры).

Уравнение упругой линии в интегральной форме. Интегрируя обе части равенства (34) от 0 до найдем

Повторяя интегрирование, получим

В формулах (35) и (36) переменные интегрирования обозначены .

Неизвестные параметры и определяют из условий закрепления. Если пренебречь влиянием перерезывающей силы на прогиб, положив то

Уравнение для дополнительного прогиба стержия от сдвига можно получить из формулы (36), положив

Тогда

Но так как

то в окончательном виде

Пример. Определить прогибы консоли постоянного сечения под действием сосредоточенной силы Р (рис. 18).

Рис. 18. Изгиб консольного стержня

Изгибающей момент в сечении

Перерезывающая сила

Прогиб от действия изгибающих моментов находим по формуле (37) при

Прогиб на конце консоли

Прогиб от действия перерезывающей силы определяем с помощью равенства (39). При

Прогиб на конце ионсоли

Отношение

Рис. 19. Изгиб стержня на двух шарнирных опорах

так как где — коэффициент Пуассона.

При

Пример. Определить прогибы балки постоянного сечеиия под действием распределенной нагрузки (рис. 19).

В опорах балки действуют реактивные усилия

Перерезывающая сила

Изгибающий момент

Прогиб от действия изгибающего момента по формуле (37)

Из условия находим

Таким образом,

Наибольший прогиб будет при .

Прогиб от действия перерезывающей силы [формула (39)]

Наибольший прогиб

Отношение максимальных прогибов

Если балка представляет собой тонкостенную трубу с диаметром и толщиной стенки , то и при

Определение прогибов стержней с помощью непосредственного интегрирования уравнения упругой линии [формулы (37) и (39)) удобно применять в простейших случаях и для стержней переменного сечения. В последнем случае интегралы целесообразно вычислять приближенно по правилу трапеций. Учет влияния перерезывающих сил на прогиб необходим при учете податливости зубьев зубчатых колес, витков резьбы, шлицев, когда размеры поперечного сечения соизмеримы с длиной.

Для стержней постоянного сечения при действии сосредоточенных сил, моментов, равномерно распределенных

Рис. 20. К выводу интеграла Мора

нагрузок разработаны специальные методы интегрирования уравнения упругой линин, однако во многих случаях более просто использовать интеграл Мора.