КОНТАКТ ДЕТАЛЕЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

Задачи об упругом контакте деталей простой формы (цилиндры, шары и т. п. ) имеют решения в замкнутой форме.

Рассмотрим контакт цилиндров (рис. 3, задача Герца), На расстоянии от плоскос проходящей через оси цилиндров, возьмем две точки . Если первоначальный контакт цилиндров (без нагрузки) происходил по линии, параллельной их осям и проходящей через точку В, то расстояние между этими точками вдоль оси у (см. рис. 1)

где — радиусы первого и второго цилиндров; — «средний» радиус кривизны,

Рис. 3. (см. скан) К расчету контактирующих цилиндров

Под воздействием нагрузки произойдет деформация цилиндров в зоне контакта, а их оси переместятся к этой зоне на величины Общее кинематическое перемещение (сближение) осей координат, связанных с цилиндрами, . Точки займут при этом новое положение

Давление в зоне контакта деформирует близлежащие неконтактнрующие поверхности цилиндров, и точки получив перемещения, равные займут положение А и .

Если в зоне контакта полуширина полоски контакта а , то точки совместятся, поэтому

Соотношение (3) представляет собпй условие совместности перемещений контактирующих точек цилиндров. Оно показывает, что кинематические перемещения цилиндров под нагрузкой компенсируются их смещениями в результате деформации

Предположим, что между сжимаемыми цилиндрами тренне отсутствует. Тогда в точках контакта будут действовать лишь нормальные давления и условие равновесия примет вид

Для решения задачи необходимо выразить смешение в уравнении (3) через контактные давления.

Рис. 4, К расчету перемещений точек полуплоскости

Если ширина полоски контакта мала по сравнению с радиусами цилиндров, то каждый из них можно приближенно рассматривать как упругую полуплоскость под действием давления

Смещение точки А с координатой (рис. 4) можно вычислить, используя известное решение задачи Фламана о действии силы на полуплоскость:

где — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала цилиндра.

Подставив соотношение (5) в условие (3) и учитывая равенство (4), получим

где

Если продифференцируем уравнение (6) по то получим

Задача сводится к нахождению функции удовлетворяющей условию (4) и уравнению (8) при всех значениях — .

Можно показать, что этим требованиям будет удовлетворить выражение

В соотношении (9)

Подставляя в равенство (10) и (11) значения входящих в них величин, получим

где

Если цилиндры изготовлены из материалов, у которых

Общее кинематическое смещение (сближение осей цилиндров)

В соотношениях — радиусы первого и второго цилиндров. Так как полуширина контактной площадки а зависит от то смещение является нелинейной функцией от хотя материал цилиндров предполагается упругим. Это объясняется изменением величины а в процессе нагружения: полуширина а возрастает по мере увеличения и относительная податливость контактной зоны уменьшается

Соотношения (13)-(14) применяют в расчетах на контактную прочность деталей машин (фрикционных и зубчатых передач и др.) конечной длины. Использование решения задачи о контакте бесконечных цилиндров в расчетах передач обосновывается тем, что ширина площадки контакта мала но сравнению с высотой зубьев колес и краевые эффекты (возрастание контактных давлений на концах зубьев) распространяются на небольшие участки контактных линий.

В заключение отметям, что определение контактных перемещений при контакте двух цилиндров имеет существенную особенность: общие перемещения возрастают с увеличением размеров поперечного сечения [см. (14)]. В этом случае, как и в аналогичной задаче Фламана, перемещения определяют относительно достаточно удаленной от места контакта точки. В формуле (14) в качестве таких точек взяты центры кривизны и (см. рис. 1). Таким образом, считают, что перемещения центров кривизны определяются только общими деформациями цилиндров (или присоединенных к ним деталей) и не связаны с контактной деформацией.

Другие случаи контакта цилиндров, а также задачи о контакте шаров решаются аналогично.

В табл. 1 и 3 показаны распространенные случаи контакта тел простой формы и даны основные соотношения.

Давление штампа. Для штампа прямоугольного сечения (рис. 5) ширина

2. Значения коэффициентов

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

4. Значения коэффициентов

(см. скан)

площадки контакта равна ширине штампа, а контактное давление

где сжимающая сила а

Несложно заметить, что вблизи краев штампа или напряжения резко возрастают. Для снижения концентрации напряжений следует скруглять края штампа.

Для круглого цилиндрического штампа контактное давление

Осадка штампа

оказывается линейной функцией от нагрузки, так как размер поверхности контакта при нагружении не изменяется. В этом случае также для снижения концентрации напряжений необходимо скруглять края штампа.

Рис. 5. Схема давления штампа на полуплоскость

Рис. 6. (см. скан) Изменение нормальных наибольших касательных напряжений и интенсивности напряжений в контактирующих цилиндрах

Для штампа в виде цилиндра с осью, параллельной полупространству, или шара соотношения для и а получаются, если в соответствующих формулах в табл. 1 и 3 принять

Анализ напряженного состояния. Напряженное состояние контактирующих цилиндров является сложным. Однако в плоскости проходящей через оси цилиндров, касательные напряжения а нормальные главные напряжения

При т. е. для всех точек средней линии полоски контакта,

Для материала с в этих точках будет всестороннее равномерное сжатие.

На рис. 6 показано изменение главных напряжений от отношения при

На прочность деталей машин существенное влияние оказывают наибольшие касательные напряжения в площадках, нормальных к главным. Расчеты показывают, что наибольшего значения касательное напряжение достигает в точке, лежащей на нормали, восстановленной в середине площадки контакта на глубине а:

Это напряжение действует по двум взаимно перпендикулярным площадкам, нормальным к плоскости и образующим с осью у углы, равные

В расчетах на прочность важное значение имеет интенсивность напряжений

Изменение интенсивности напряжений показано на рис. 6, б. Из графика следует, что максимальное значение (на глубине

При контакте шаров для произвольной точки оси все площадки, параллельные этой оси, и площадка, перпендикулярная к ней, являются главными. Это следует и из симметрии напряженного состояния относительно оси Нормальные напряжения в окрестности произвольной точки оси

Из соотношений (20) следует, что при напряжение (в центре площадки контакта), а при

Напряжения в отличие от зависят и от упругих свойств материала (коэффициента Пуассона). Для точки

В плошадках, нормальных к плоскости и наклоненных на 45° к оси действуют максимальные касательные напряжения

которые достигают наибольшего значения при (при ):

Интенсивность напряжений максимальна на глубине :

Точки поверхности контакта, лежащие на пересечении контура круговой площадки с осью х, находятся в состояния чистого сдвига при напряжениях