ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Критическая нагрузка определяет момент, когда малое случайное отклонение оси стержня при постоянном значении сжимающей силы приводит к внезапному интенсивному росту прогибов (теоретически, в линейной иостанозке — до бесконечности). Пока нагрузка меньше критической и напряжения ниже предела текучести, стержень сохраняет устойчивую прямолинейную форму и при постепенном возрастании сжимающей силы. Однако в упругопластической стадии нагружения, начиная с некоторого значения нагрузки прямолинейная форма равновесия при возрастающей нагрузке становится неустойчивой, что ведет к выпучиванию стержня, резко увеличивающемуся при приближении силы Р к ее критическому значению т. е. стержень ведет себя так же, как при вяецентреииом - приложении силы.

Рассмотрим это явлеиие на примере сжимаемой жесткой стойки, опирающейся два упругоилагтических стержня из линейно упрочняющегося материала, кажаый площадью (рис. 9). Пусть при некоторой нагрузке Р и отклонении оси стойки на малый угол она находилась в положении равновесия.

Рис. 9. (см. скан) Сжимаемая жесткая стойка на упругопластнческих стержнях

Если при увеличении нагрузки на равновесие сохраняется, то должны удовлетворяться соотношения:

а) совместности деформаций

б) равновесия

в) физические соотношения

где зависят от положения точки на диаграмме деформирования о и знаков

Исключив из выражений (38)-(40) приращения деформаций, получим

где

и дифференциальное уравнение для функции

Решение уравнения (43) для участков, на которых с начальным условием при дает закон изменения углов для равновесных состояний

Предположим вначале, что в исходном состоянии стойка была строго прямолинейна, т. е. при

Пока напряжения в стержнях остаются меньше предела текучести модули при малых случайных отклонениях стойки сохраняют исходное значение тогда

где Р — критическая эйлерова нагрузка при упругой деформации данной системы.

Из (44) следует, что если то вплоть до значения упругая система остается прямолинейной

Если стержни достигнут предела текучести при нагрузке то при дальнейшем увеличении нагрузки возможны два случая деформирования.

1. Оба стержня продолжают догружаться модули принимают значение касательного модуля тогда

При этом прямолинейная форма равновесия остается устойчивой, но только до нагрузки определяемой касательным модулем

2. Стержень 2 догружается стержень 1 упруго разгружается Величины становятся различными так что

где приведенный модуль определяется формулой (36)

Из первой формулы (41) следует, что разгрузка первого стержня начинается именно в точке где угол наклона (производная) кривой скачком меняется от 0 до конечной величины

После этого стойка начнет постепенно отклоняться от прямолинейного направления в соответствии с вытекающим из (44) уравнением

как показано на рис. 10 (кривая 1).

Если искусственно задержать стойку в прямолинейном положении до

Рис. 10. (см. скан) Характер отклонения стойки упругопластических деформациях

некоторого значения дальнейшее отклонение пойдет по линии 2,

Когда в исходном состоянии при стойка нгклонепа на угол отклонение в упругой области будет изменяться, как это следует из (44), по закону

После достижении стержнем 2 предела текучести темп сгклонения стойки возрастает, причем стержень 1 будет догружаться до величины — после чего ось начнет разгружаться, а нарастание оитклонения пойдет ускоренно по кривой 3. Эта кривая на разных участках имеет рчзные асимптоты как покачано на рис. 10 штриховыми линиями. Линия соответствует началу упругой разгрузки сткржня (при ).

Линия характеризует начало пластических деформаций при слаоом упрочнении величина может оказаться меньше и тогда боковое выпучивание при возрастающей нагрузке начинается срязу, как только сжимающая сила достигает величины Если же и станет меньше , то при наступит потеря устойчивости.