КОНСТРУКЦИОННЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ

Классические задачи охватывают случаи контакта тел простой формы (цилиндр, шар и т. д.), в них рассматривают только местные напряжения и деформации в зоне контакта.

Многие реальные конструкции имеют более сложную форму и передают нагрузку через несколько площадок контакта (например, в зубчатых передачах, подшипниках качення, резьбовых и зубчатых соединениях и т. п.). При расчете таких конструкций требуется учесть не только местные, но и общие деформации тел (изгиб, сдвиг и др в связи с их действительной формой, особенностями закрепления, с действием других силовых факторов и т. п.

Наиболее простой способ такого учета — разделение контактных и общих деформаций. Для расчета вводят представление об условном контактном слое, в котором сосредоточивается контактная деформация. Во многих случаях такой слой может иметь реальный смысл, если в задачах рассматривать деформацию микронеровностей поверхности деталей.

Упругий контакт стержней. Рассмотрим контакт двух стержней под действием сосредоточенной нагрузки (рис. 7). Будем считать, что контактные давления направлены вдоль общей нормали к контактирующим поверхностям (силами трения пренебрегаем), а стержень

Рис. 7. Схема контакта стержней

имеет постоянное сечение вдоль оси ось у направлена вдоль общей нормали.

На рис. 8 показаны сечения стержней после деформации. Принято, что и — центры жесткости сечений, а оси : — главные оси сечения — номер стержня,

Кинематическое условие контакта в точке А имеет вид

где — составляющая поступательного смещения сечения по оси у в результате деформации изгиба и сдвига; — угол поворота сечения; — контактная деформация; — зазор между контактирующими точками до деформации.

Предположим, что между стержнями имеется условный нелинейно-упругий контактный слой и контактная деформация определяется контактным давлением в этом же сечении:

Это соответствует обычному в технических задачах допущению, что контактная деформация в данном сечении такая же, как и при постоянном по длине стыка давлении

Соотношение (23) позволяет приближенно учесть контактные деформации.

Введя компоненты смещения по главным осям, запишем условие контакта в следующей форме:

Последовательное четырехкратное дифференцирование этого равенства с учетом уравнений деформации и равновесия приводит к дифференциальному уравнению

где

здесь жесткости стержня соответственно на кручение, сдвиг и изгиб относительно

Рис. 8. Сечения стержней после деформации

главных осей; безразмерные коэффициенты при учете деформации сдвига, составляющие внешней распределенной нагрузки по главным осям сечения.

При выводе уравнения (25) использовали следующие уравнения деформаций (i = 1, 2);

и вытекающие из соотношения

в которых — углы поворота сечений; — моменты, — перерезывающие силы (рис. 9).

Силовые факторы связаны условиями равновесия (см. рис. 9)

где — распределенный крутящий момент, постоянный по длине.

Во многих случаях вполне оправдан метод линеаризации контактного слоя.

Если представить равенство (23) в виде

Рис. 9. Схема действия моментов и сил на стержень

И положить

то уравнение (25) можио записать в виде

где

Величину податливости можно выбрать в процессе решения с помощью последовательных приближений.

Решение уравнения (32) целесообразно представить с помошью нормальных фундаментальных функций в виде

где — произвольные постоянные, определяемые из граничных условий в сечении — нормальные фундаментальные функции:

В формулах (35)

Рассмотрим в качестве примера упругий контакт цилиндрических стержней при действии сосредоточенной нагрузки (рис. 10, а).

Контактная деформация связана с контактными давлениями известным соотношением А. Н. Дининка

где полуширина полоски контакта

— наибольшее контактное иапря жение.

Если упругие постоянные материалов цилиндров одинаковы, то при

Пренебрегая деформацией сдвига в цилиндрических стержнях , получим

Граничные условия при (рис. 10, б)

связаны с отсутствием изгибающего момента и перерезывающей силы в этом сечении.

При

С учетом граничных условий

Рис. 10. Комтахт цилиндрических стержней

где функция A. H. Крылова — значения этих функций при

Протяженность половины зоны контакта может быть найдена из условия

или

Условие (45) выполняется для достаточно длинных стержней: . Если то следует принять и задача значительно упрощается, ее решение выражается уравнением (44) при

Рассмотрим случай, когда зона контакта занимает часть длины стержня. Для определения I используем условие (45), тогда получим

или

Так как

то соотношение (48) позволяет найти I и затем X. С учетом равенства (47) решение уравнения (44) можно представить в виде

Относительное распределение контактного усилия по длине зоны контакта не зависит от нагрузки. Последняя, как и упругие характеристики контактного слоя и стержней, влияет только на длину зоны контакта.

Подобным образом может быть решена задача и при учете деформации сдвига стержней. Условие для определения длины зоны контакта в этом случае запишем в виде

где значения тип вычисляют из соотношений (36). При условия (47) и (50) совпадают.

В общем случае один из наиболее эффективных методов решения состоит в применении интегральных уравнений и использовании алгоритма последовательных приближений. Интегрируя последовательно уравнение (25) и учитывая граничные условия

получим

Вводя безразмерную координату и учитывая равенство

запишем уравнение (52) в виде нелинейного интегрального уравнения:

или в сокращенной форме

Для решения используем метод «подобной итерации», принимая для приближения

Определив коэффициент подобия из условия

получим следующее уравнение для вычисления :

(см. скан)

В качестве исходного приближения можно принять линейное распределение

причем

где — исходное приближение для протяженности половины зоны контакта.

Пример. Примем сила .

Принимаем для исходного приближения . В соответствии с равенством (39)

Уравнение (58) для определения принимает вид

откуда

В процессе последовательных приближений получим

На рис. 11 показано распределение полученное по уравнению (54) (кривая ) и на основании приближенных решений при с учетом сдвига (кривая 2) и без учета сдвига (кривая ).

Рис. 11. Распределение давлений на стыке двух стержней

Рис. 12. Схема контакта пластинок

Упругий контакт пластииок. При осесимметричной контактной задаче для двух круглых пластинок (рис. 12) имеем следующее дифференциальное уравнение:

в котором

здесь — цилиндрическая жесткость пластинки ( — толщина пластинки), — номер пластинки .

Для линейно-упругого контактного слоя уравнение (61) можно переписать в виде

где

При выводе уравнения (63) независимая переменная — радиус пластинки) заменена другой , связанной с ней соотношением

Обозначая

получим

Решение уравнения (66) можно, как и для стержней, представить в виде

где — произвольные постоянные, — нормальные фундаментальные функции при от

(см. скан)

В соотношениях — функции и их производные, определяемые с помощью функций

Кельвина 1 и II родов нулевого порядка:

(см. скан)

где — постоянная Эйлера.

При больших значениях аргумента можно пользоваться следующими приближенными асимптотическими зависимостями:

(см. скан)

где

Граничные условия в рассматриваемой задаче:

где и — соответственно перерезывающая сила и радиальный изгибающий момент.

Из уравнений (67) с учетом этих условий найдем

где

здесь — значения нормальных фундаментальных функций и производных при от (см. рис. 12).

Подставляя значения произвольных постоянных из равенств в уравнение (67), получим

Значение при условии, что находят из уравнении (75) с помощью известных методов решения трансцендентных уравнений. Аналогично определяют и значение Решение задачи существенно упрощается, если (см. рис. 12). В этом случае следует принять

На рис. 13 показано изменение давлений на стыке одинаковых пластинок

Рис. 13. (см. скан) Распределение давлений в стыке двух пластинок

Рис. 14. (см. скан) Схема контакта двух тел произвольной формы

толщиной мм. Податливость слоя определялась из соотношения

Решение задачи об упругом контакте пластинок можно весьма эффективно использовать при расчете беспрокладочных фланцевых соединений [3].