УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Деформационная теория пластичности [3, 4) предполагает наличие однозначной зависимости между суммарными деформациями в упруюпластическом теле и напряжениями. Для изотропного тела основные соотношения деформационной теории имеют вид

где соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона. Средние деформации и напряжение связаны соотношением упругости

здесь — соответственно средняя деформация и среднее напряжение:

В равенствах (8) величина представляет собой параметр пластичности:

где — соответственно интенсивности напряжений и деформаций,

а — интенсивность напряжений в упругом теле, соответствующая интенсивности деформаций

В расчетах принимается, что интенсивности напряжений и деформаций

Рис. 1. Кривая деформирования

связаны однозначной зависимостью (рис. 1)

Эта зависимость (обобщенная кривая деформирования) предполагается одинаковой для любого напряженного состояния.

При растяжении стержня

и из (12) получим

где — коэффициент Пуассона в области упругопластических деформаций . Часто в практических расчетах принимают , и тогда уравнение (13) представляет собой зависимость при растяжении стержня. При упругих деформациях параметр пластичности и уравнения (8) совпадают с уравнениями упругости

Верхний индекс как и раньше, означает, что рассматривается упругая часть деформации. Вычитая из соотношений (8) равенства (15), получим выражения для пластической деформации:

где верхний индекс соответствует деформациям пластичности.

При выводе последних соотношений учитывали, что для пластических деформаций

и поэтому .

Равенства (8) можно записать в векторной форме:

где — вектор-девиатор деформаций; — девиатор напряжений

Соотношения (16) можно представить в внде

Вектор пластической деформации коллинеарен вектору-девиатору напряжений. Приведем еще несколько соотношений деформационной теории пластичности. Если каждое из уравнений (8) возвести в квадрат, сложить все

шесть полученных равенств и извлечь квадратный корень, то получим

что соответствует зависимости (11).

Подобным образом можно найти интенсивность пластических деформаций из уравнений (16):

Из последних соотношений вытекает:

т. е. интенсивность деформации равна сумме интенсивностей пластических и упругих деформаций.

Для случая растяжения получим

Так как пластическая деформация протекает без изменения объема, то

Из уравнения (19)

или

В качестве обобщенной кривой деформирования можно рассматривать обычную кривую деформирования при растяжении

Для приведения кривой деформирования, соответствующей сложному напряженному состоянию, к эквивалентной кривой при простом растяжении, следует положить

Экспериментальные исследования показали, что основные зависимости деформационной теории пластичности справедливы по крайней мере при монотонном возрастании и в случае простого нагружения

Если обобщенный вектор напряжения, соответствующий внешним воздействиям в момент времени то при простом нагружении в момент времени

где произвольная, неубывающая функция времени.

Из равенства следует, что в процессе простого нагружения все компоненты вектора напряжения увеличиваются в одинаковое число раз. Следовательно, при одноосном напряженном состоянии нагружение всегда будет простым.

Деформационная теория пластичности нашла широкое применение в практических расчетах. Однако при сложном нагружении, особенно когда на некоторых этапах происходит разгрузка, применение деформационной теории может привести к погрешностям. Основной недостаток этой теории — отрицание роли «истории нагружения».

Во многих случаях более оправданным является ррименение теории пластического течения [7]

В соответствии с теорией пластического течения приращения пластической деформации в процессе нагружения

где — интенсивность напряжений [см. (12)]; Т — температура.

Применяя равенства (22) для случая простого растяжения при

Рис. 2. Кривые деформирования при растяжении с постоянной температурой (а) и с постоянным напряжением

находим функцию напряженного состояния

где — модуль упругости материала при температуре Т; — касательный модуль, определяемый по обычным кривым демпфирования при (рис. 2, и).

Термомеханическая функция

где — коэффициент температурной податливости, зависящий от напряжения и температуры. В упругой области

Коэффициент определяют по экспериментальным кривым растяжения при и непрерывно повышающейся температуре (рис. 2, б), этот коэффициент представляет собой приращение деформаций при за счет увеличении податливости материала при возрастании температуры на

Термомеханическую функцию можно представить в виде

где — мгновенный предел текучести, соответствующий температуре Т и накопленной пластической деформации (рис. 3). Величина равна сумме интенсивности приращений пластической деформации на всем пути нагружения:

где

Равенства (22) описывают приращение пластической деформации при выполнении условия активного нагружения

Рис. 3. Поверхность деформирования

Если справедливо хотя бы одно из условий

то следует считать, что приращения пластической деформации нет. В этом случае имеет место либо разгрузка, либо упругое нагружение. Равенства (22) можно представить в векторной форме

Вектор приращения пластической деформации коллинеарен вектору-девиатору напряжений.

Изложенный вариант теории пластического течения предполагает изотропное упрочнение по мере увеличения и не описывает эффект Баушингера. Однако его можно использовать как первое приближение при расчете конструкций в условиях сложного нагружения.