РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ НА ПРОЧНОСТЬ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ (ПРОСТОЕ НАГРУЖЕНИЕ)

Часто используют модель простого нагружения, при котором в каждой точке тела соотношения между компонентами напряжений в процессе нагружения остаются неизменными.

Использование такой модели не приводит к существенным погрешностям и в тех случаях, когда нагружение является монотонно возрастающим и главные направления тензора напряжений (или направления главных напряжений) остаются неизменными в процессе нагружения.

Определение напряжений и деформаций в элементах конструкций с учетом пластичности и ползучести связано с большими трудностями, так как расчетные соотношения оказываются нелинейными. Для линеаризации задачи можно использовать метод переменных параметров упругости и метод дополнительных деформаций.

Метод переменных параметров упругости основан на предоставлении зависимостей для упругопластического тела в форме уравнений упругости, в которых параметры упругости зависят от напряженного состояния и поэтому переменны в различных точках тела.

Соотношения деформационной теории пластичности (8) и (9) представим в обычном виде закона Гука

где переменные параметры упругости зависят от напряженного состояния, т. е.

здесь — параметр пластичности, определяемый по формуле (11). Учитывая уравнения (20), найдем

где - секущий модуль кривой деформирования (при растяжении).

Внося (39) в соотношения (37) и (38), получим простые равенства

Обычно влияние коэффициента Пуассона на напряженное и деформированное состояния невелико и во многих практических задачах можно положить

или считать в упругой области а при наличии пластических деформаций Так как параметр (или секущий модуль заранее

Рис. 5. Схема расчета по методу переменных параметров упругости

неизвестны, то при расчете используют процесс последовательных приближений. В первом приближении, считая материал упругим, при (где Е и — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала, зависящие от температуры) решают упругую задачу, из которой находят (рис. 5) в каждой расчетной точке. В плоскости состояние первого приближения изображается точкой 1, лежащей на пересечении линии и луча, угол наклона которого равен . Этому состоянию соответствует эквивалентная деформация

и секущий модуль

Во втором приближении полагают , решая ту же задачу при Е, (2, и находят новое состояние 2 и т. д. Расчет заканчивается при достаточной близости двух соседних приближений.

При расчете с учетом деформации ползучести наиболее простая расчетная схема получается для теории старения. В этом случае также используют метод переменных параметров упругости, но для кривой деформирования, соответствующей времени

Обычную кривую деформирования применяют для начального момента времени

Учет ползучести по теории течения или упрочнения проводят по этапам времени. На начальном этапе выполняют расчет по уравнению (36). Для нового этапа после времени расчетные уравнения имеют вид

где — деформации ползучести, соответствующие напряженному состоянию в начале этапа нагружения. Из уравнений (30) получим

где функции находят из уравнений (34) или (35) при значениях определяющих параметров, соответствующих началу этапа нагружения Величины представляют собой напряжения в упругом материале при отсутствии деформаций ползучести.

Для следующего этапа нагружения уравнения упругости имеют вид

где — деформации ползучести, накопленные к началу этапа нагружения,

Подобным образом рассчитывают остальные этапы нагружения. Длительность этапов выбирают настолько малой, что изменение напряженного состояния в результате ползучести незначительно.

Наиболее просто изложенный метод расчета можно применять в случае, когда пластические деформации отсутствуют, а деформации ползучести развиваются в упругом теле. Тогда во всех приближениях принимают Если уже на первом этапе нагружения возникают пластические деформации (напряжения превосходят предел текучести материала), то для расчета используют метод переменных параметров упругости. Этот метод применяют и для второго этапа нагружения, причем расчет считается достоверным, если в точках, в которых имелась пластическая деформация в конце первого этапа нагружения, интенсивность напряжений увеличивается (точнее, пластическая деформация возрастает). Если это условие не выполняется, то расчет проводят снова, причем в точках разгрузки принимают Аналогично осуществляется расчет последующих этапов нагружения.

Метод дополнительных деформаций. В этом методе, в отличие от метода переменных параметров упругости, деформация пластичности рассматривается как дополнительная, имеющая характер анизотропной температурной деформации. Основной в этом случае является обычная задача теории упругости с постоянными параметрами упругости, что существенно упрощает «упругое» решение. Однако структура процесса последовательных приближений оказывается несколько сложнее, чем в методе переменных параметров упругости.

Для деформационной теории пластичности основные уравнения имеют вид

где дополнительная пластическая деформация

Учитывая соотношения (8), равенства (44) можно записать в виде, часто более удобном для решения задач:

Здесь, как и ранее, под дополнительными деформациями понимается разность между действительными упруго-пластическимн деформациями и их упругой частью

В первом приближении, которое совпадает с первым приближением в методе переменных параметров упругости, решается упругая задача при отсутствии дополнительных деформаций. Определяются значения компонентов напряжений и деформаций интенсивности напряжений . В плоскости состоянию первого приближения соответствует точка 1 (рис. 6).

Значению а (1) соответствует эквивалентная деформация и определяемая по кривой деформирования величина Тогда параметр пластичности

Далее находим дополнительные деформации

Рис. 6. (см. скан) Схема расчета по методу дополнительных деформаций

Эквивалентная деформация при простом растяжении

показана на рис. 6.

Во втором приближении рассматривается та же упругая задача, но при наличии дополнительных деформаций

В результате второго приближения находят новое состояние, характеризуемое компонентами напряжения и деформаций состоянию в плоскости соответствует на рис. 6 точка 2, которая лежит на пересечении горизонтальной линии и наклонной линии параллельной линни упругого нагружения и сдвинутой на величину

Далее определяют

а по кривой деформирования — Последующий порядок расчета аналогичен расчету первого приближения.

Подобным образом строят третье и последующие приближения, причем для всех приближений параметры упругости остаются неизменными.

Расчет заканчивают при достаточной близости двух соседних приближений. При необходимости учета деформаций ползучести используют изложенный выше метод. Для каждого этапа нагружения (по времени) в уравнения (48) добавляют деформации ползучести, накопленные к началу этапа. Эти деформации остаются неизменными в процессе последовательных приближений, используемых для нахождения деформаций пластичности на данном этапе.