ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

Численные методы широко используются при расчетах собственных частот и форм колебаний элементов конструкций, напряжений при установившихся вынужденных колебаниях, при исследованиях границ динамической устойчивости и при решении ряда других сложных проблем динамики. Многие из таких методов, относящихся главным образом к стационарным динамическим процессам, широко освещены в технической литературе [2 и др.].

Рис. 4. (см. скан) Разбиение стержня на элементы (а) и напряженно-инерционное состояние элементов в моменты времени t (б) и (в)

Более сложными и менее разработанными являются методы расчета нестационарных задач для деформируемых конструкций, в особенности при меняющихся граничных условиях (ударное и виброударное нагружения, переходы через резонансные состояния, динамика систем с зазорами и переменными точками контакта, воздействие движущихся нагрузок и пр.). К наиболее математически простым, а вместе с тем физически корректным методам численного анализа нестационарных явлений в континуальных одномерных системах относится разработанный в последние годы метод прямого математического моделирования на ЭВМ процессов распространения волн механических возмущений (напряжений, деформаций, скоростей и т.п.)

Его сущность изложим на примере расчета продольных волновых процессов в упругом стержне длиной постоянного поперечного сечения площадью боковая поверхность которого свободна от нагрузок.

Разобьем стержень на равных элементов длиной номера элементов номера сечений (рис. 4, а). Пусть в момент времени каждый элемент имеет постоянные в его пределах продольную скорость напряжение и деформацию причем , где Е — модуль упругости материала (рис. 4, б). На границах смежных элементов эти параметры могут отличаться на произвольную величину (иметь «сильные» разрывы), которые, однако, в тот же момент времени должны распасться, в результате чего напряжение на правой границе элемента станет равным напряжению на левой границе элемента то же относится к границе элементов и к скоростям:

Зоны «возмущения» с параметрами (58) будут распространяться в глубь соответствующих элементов в соответствии с законами механики упругого тела со скоростью с, так что

глубина их проникновения за время будет . Так, для правой границы элемента получим следующие соотношения.

Закон сохранения импульса. Изменение количества движения массы должно быть равно импульсу постоянных сил действующих на границах этой массы в течение времени откуда

Условие сплошности тела. Разность перемещений границ зоны возмущения за время должна быть равна ее абсолютному удлинению откуда

Закон упругости. Изменение напряжений — связано с изменением деформаций соотношением

Выражения (59)-(61) удовлетворяются совместно только при

что соответствует известной формуле распространения упругих волн в стержне.

Аналогично для левой границы элемента

Решив уравнения совместно при учете первых двух условий (58), найдем значения напряжений и скоростей, распространяющихся в глубь элемента от его границы с элементом:

т. е. напряжение и скорость изменятся на

Аналогично для левой границы элемента

Изменение параметров составит

По принципу суперпозиции линейных деформаций волны (64) и (65) распространяются независимо, поэтому эти соотношения будут справедливы в течение времени до встречи с противоположными границами элемента. В момент времени во всем элементе установятся новые напряжения

и скорости

Формулы (64)-(67) образуют систему рекуррентных (повторяющихся) соотношений, позволяющих по известным в момент значениям напряжений и скоростей в и в двух соседних элементах найти новые значения напряжений и скоростей в элементе для момента времени Добавляя условия на внешних границах стержня (заданные напряжения, скорости, перемещения) и последовательно решая эти системы для всех элементов с шагом по времени получим точную и исчерпывающую картину динамического процесса в стержне при самых произвольных условиях нагружения.

В более общих постановках задачи произвольно меняющиеся по времени нагрузки аппроксимируются ступенчатыми функциями с постоянными в пределах значениями. Распределенные по длине стержня нагрузки

считаются приложенными на границах элементов в сечениях . В число внешних сил могут включаться силы трения, неизвестные силы реакции и прочие. Стержни переменного сечения представляются ступенчатыми с постоянными в пределах элементов площадями . Если Е и меняются по длине стержня, он разбивается на элементы разной длины так, чтобы их длины удовлетворяли условию , где при одинаковом для всего стержня. При этом в пределах элемента принимается . При уменьшении отрезков времени , а следовательно, и принятые условия позволяют воспроизводить переменные характеристики с необходимой точностью.

Так как при принятых допущениях соотношения являются точными, то процесс расчета абсолютно устойчив при любом числе элементов и временных этапов.

Для общего случая зависимости типа (64), (65) можно объединить, записав их для упругого стержня в виде

где

Напряжения определяются затем по формулам (59) или Условия равновесия на границах элементов

Если — перемещение границы элемента в начале этапа, то в конце его

Пример. Упругий стержень длиной 21 и площадью поперечного сечения ударяет со скоростью но упругому стержню длиной и площадью из того же материала, имеющему такую же встречную скорость (рис. 5, а). Определим скорость отскока огск упругом ударе и изучим динамическую картину соударения.

Рис. 5. (см. скан) К расчету соударения стержней

Так как массы и скорости стержней равны, то по элементарной теории соударения упругих тел они разлетятся с той же скоростью Однако действительная картина удара из-за разной конфигурации стержней будет иной.

Представим 1-й стержень в виде двух элементов, 2-й — в виде одного элемента длиной Начальные условия (в момент начала контакта).

Граничные условия: При контакте стержней после отскока Первый шаг по времени

Первый элемент

левая граница, формула (63):

правая граница, вторая формула

овые значения

Второй элемент

левая граница,

правая граница, формула (68) при

есть контакт

Новые значения

Третий элемент,

левая граница

правая граница

Новые значения

Затем проводится аналогичный расчет для момента времени и далее в том же порядке На рис 5, 6 приведены результаты расчета в виде зависимостей номера шага . В момент когда упругая волна, отраженная от левой свободной границы первого элемента, возвращается к плоскости контакта, происходит отскок стержней В этот момент второй стержень не напряжен к имеет скорость которую он и сохраняет в дальнейшем Элементы первого стержня при этом имеют такую же скорость но они испытывают напряжение растяжения всех точках, кроме внешних границ, что является источником последующих колебаний) В дальнейшем первый стержень будет двигаться с той же средней скоростью но в нем будут происходить незатухающие (в отсутствии сил внутреннего трения) колебательные процессы в виде волн напряжений и скоростей, как показано на рис Полная энергия системы стержней после отскока сохраняется постоянной и равной (например, при определении ее в моменты

что в точности равно начальной кинетической энергии стержней и подтверждает упругий характер удара.

Потеря скорости из-за упругих колебаний стержней в данном случае составляет

Из приведенного примера следует, что расчет чрезвычайно легко алгоритмизируется.

Методом прямого математического моделирования решены задачи кручения и изгиба стержней, деформации струн, плоских и сферических волн, деформации упруговязких и упругопластичных материалов. Им успешно решаются многие технические задачи, связанные с проблемами анализа нестационарных процессов в деформируемых элементах машин и конструкций, с динамикой поездов и пр. [4, 5, 6]