Исследование одного частного интеграла
139. Интересный частный интеграл получится, если предположить, что две последние константы VI и V% равны нулю.
Для этого достаточно в уравнении (6) положить
Отсюда следует, что левая часть этого уравнения не зависит ни от 
ни от 
В самом деле, до последней замены переменных функция 
допускала разложение по степеням
а сверх того, зависела лишь от
Следовательно, если положить
то F будет зависеть лишь от
С другой стороны, если положить
то функция Т, которая допускает разложение по возрастающим степеням V и содержит лишь члены второго порядка, по крайней мере относительно этих величин, обратится в нуль вместе со своими производными первого порядка. Точно так же обращаются в нуль 
и мы
получаем
Точно так же
Отсюда следует, с одной стороны, что 
обращаются в нуль, и, с другой стороны, что 
равны 
Из этого вытекает, что функция 
зависит лишь от четырех переменных
Следовательно, если
то левая часть уравнения (6) не будет более содержать 
В этом случае уравнение (6) очень легко интегрируется: для этого достаточно воспользоваться методами, изложенными в п. 125, однако в рассматриваемом случае можно утверждать нечто большее.
Интеграл не является более чисто формальным, а ряд, расположенный по степеням 
в который он разлагается, сходится.
Действительно, функция 
зависит лишь от разности 
поскольку, как мы видели, 
не должна изменяться, когда 
получают одинаковые приращения, и, кроме того, 
не будет зависеть от 
Отсюда следует, что два уравнения
(где 
некоторые константы) совместны. Производные 
а следовательно, и функцию S находят в виде рядов, расположенных по степеням 
Полученный таким способом интеграл зависит от двух произвольных постоянных 
, но эти две постоянные можно выразить через две из четырех первоначально выбранных констант а именно 
Две другие константы 
и 
по предположению равны нулю.
Обозначим этот частный интеграл уравнения (6) символом
Если константы 
выбраны надлежащим образом (ср. п. 125), то 
будет иметь следующий вид:
При дальнейшем рассмотрении этот частный интеграл 2 не приводит, как это можно было бы ожидать, к простым частным решениям задачи трех тел.
