Различные виды рядов

126. Итак, существование рядов (8) доказано. Можно попытаться по лучить эти ряды, не обращаясь на промежуточных этапах к вспомогательному выражению S.

Однако прежде я хочу доказать, что можно формально удовлетворить уравнениям (1) предыдущего пункта с помощью бесконечного набора других рядов, имеющих тот же вид, что и ряды (2).

1. Рассмотренная выше функция S определяется уравнением (4) лишь с точностью до некоторой константы или, точнее, поскольку величины рассматриваются как постоянные, с точностью до произвольной функции, зависящей от

Таким образом, если функция S удовлетворяет уравнению (4), то и функция

будет также удовлетворять уравнению (4). Здесь означает некоторую функцию, зависящую от которую можно разлагать по возрастающим степеням

Рассмотрим вместо уравнений (8) следующие уравнения:

Мы можем предположить, что делится на Тогда можно найти из уравнений в виде рядов аналогичных рядам (2). Имеем

Коэффициенты и у так же, как представляют собой периодические функции от

Сравнение уравнений и (8) показывает, что ряды получаются из рядов (2), если в последних заменить на

2. Рассмотрим более общий случай.

Пусть

функций, зависящих от которые допускают разложение по степеням

Если в рядах (2) заменить на

то вид этих рядов не изменится. В самом деле,

где функции допускают разложение по степеням ипериодишы по

Если заменить на то

Отсюда следует, что функции также допускают разложение по степеням и также периодичны по

Кроме того, ряды формально удовлетворяют уравнениям (1). В самом деле, ряды (2) удовлетворяют этим уравнениям, если

произвести замену переменных

при любых значениях

Величины являются функциями от х, которые являются константами. Следовательно, сами также константы. Таким образом, замена на приводит к тому, что константы интегрирования заменяется другими константами что в силу только что сделанного нами замечания не мешает нашим рядам по-прежнему удовлетворять дифференциальным уравнениям (1).

Итак, ряды формально удовлетворяют уравнениям (1).

Лишь при одном условии эти ряды нельзя найти из уравнений (8) и а именно при условии, что выражение

не будет полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от Эта функция представляет собой не что иное, как рассмотренную нами несколько выше функцию

3. Подставим в ряды (2) вместо

величины

где зависят от и допускают разложение по степеням а.

Если величины считать константами, то и будут константами. Если изменить каким-либо образом значения постоянных интегрирования, то вид рядов (2) не изменится и эти ряды будут по-прежнему формально удовлетворять уравнениям (1).

Итак, записав ряды (2) в виде

мы видим, что зависят не только от , но и от

Пусть теперь

функций, зависящих от и и допускающих разложение по степеням

Запишем ряды

Каковы бы ни были функции эти ряды будут формально удовлетворять уравнениям (1).

Кроме того, если функции

периодичны по то и функции

также будут периодическими.

Еще одно замечание.

Положим

Функции являются периодическими функциями от . Я намереваюсь рассмотреть средние значения этих периодических функций и обозначу их соответственно символами

После этого я намереваюсь доказать следующее.

Пусть 0; и совершенно произвольных функций, зависящих от которые должны лишь разлагаться по степеням

Я утверждаю, что каковы бы ни были функции всегда можно выбрать функции так, чтобы

В самом деле, для этого достаточно определить из следующих уравнений:

Итак, функции всегда можно найти из этих уравнений в виде рядов, расположенных по степеням коэффициенты которых зависят от

Если ряды представить в виде

то будут периодическими функциями от В силу предыдущего замечания эти периодические функции всегда можно подобрать так, чтобы их средние значения были искомыми функциями от