Вид возмущающей функции

17. Важно установить, каков вид функции когда применяются переменные двух предыдущих пунктов. Предположим сначала, что берутся переменные и что три тела движутся в одной и той же плоскости; функцию, зависящую лишь от расстояний между тремя телами, можно будет разложить по косинусам и синусам углов, кратных коэффициенты этого разложения сами будут разложимы по возрастающим степеням

где через обозначены эксцентриситеты. Наконец, коэффициенты этих новых разложений сами будут однозначными функциями от .

Положим для краткости

отсюда вытекает в силу определения Н, что

Добавим, что не изменяется, когда меняют знак. Следовательно, разложение по косинусам и синусам углов, кратных этим трем переменным, может содержать только косинусы.

Следовательно, окончательно мы имеем

где положительные целые числа, произвольные целые числа и А — коэффициент, зависящий лишь от Ли Л. Кроме того, не превышает и может от него отличаться лишь на четное число; точно так же не превышает и может от него отличаться лишь на четное число.

Такое разложение пригодно, когда достаточно малы; мы видим, что для

все члены, кроме тех, для которых обращаются в нуль. Подобным образом для

все члены обращаются внуль, за исключением тех, для которых Следовательно, если имеем одновременно

то все члены обращаются в нуль, за исключением тех, для которых так что становится функцией от

Если в одном из членов разложения положить

то этот член также обратится в нуль, кроме случая Можно было бы подумать, что при

все еще является функцией от , но это вовсе не так, потому что наше разложение пригодпо лишь для малых значений . Рассуждение, аналогичное только что приведенному, доказывает, напротив, что для является функцией от , а не

В случае, когда величина крайне мала, может быть выгодно сделать специальную замену переменных.

Тождественно выполняется равенство

поэтому в силу канонический вид уравнений не нарушится, если заменить переменные

переменными

Положим теперь

В силу п. 6 канонический вид уравнений продолжает сохраняться, если за переменные взять

Эти переменные имеют то преимущество, что функция оставаясь периодической по и , разлагается в ряд по степеням и когда эти переменные достаточно малы.

18. Возьмем теперь переменные , т. е.

Переменные подчинены некоторым неравенствам. Имеем

откуда

Точно так же

С другой стороны, в силу интеграла площадей,

где С — постоянная площадей, рассматриваемая как одна из данных задачи. Отсюда выводятся неравенства

Посмотрим теперь, как функция зависит от наших переменных. Для значений , близких к , функция уже не голоморфна по она разложима не по целым степеням , но по степеням .

В этих условиях полезны следующие переменные. Положим

Уравнения сохраняют канонический вид, если за независимые переменные принять

более того, функция будет тогда разложима по целым степеням

Если надо рассмотреть значения Я, очень близкие к Л, то можно действовать аналогичным образом.

Посмотрим, что произойдет, если значения очень близки к пределам, которые определены неравенствами (3), т. е. если наклонения малы или равны нулю.

Предположим, например, что

12 мы видели, что разложима в ряд по возрастающим степеням переменных этих пунктов, т. е. по возрастающим степеням

Если наклонения равны нулю, то

и два последних радикала обращаются в нуль, но не два первых; функция голоморфна тогда по и

Но мы видели в п. 12, что не изменяется, когда одновременно меняют знак или, что то же самое, когда два радикала и Родновременно меняют знак.

Следовательно, для очень малых или нулевых значений наклонений функция голоморфна по , с одной стороны, и по с другой.

Но мы имеем

откуда

или

Эти равенства показывают, что величины

и, следовательно, остаются голоморфными функциями , когда