Исследование рядов

222. Вернемся к обозначениям п. 220 и предположим, что функция S найдена с помощью предложенных там методов. Однако задача решена еще не полностью. Необходимо еще взять уравнения

где — надлежащим образом выбранные функции от решить их и получить в виде функций от и, наконец, заменить величины линейными функциями времени с соответствующим образом подобранными коэффициентами. Мы получим выражения для координат х, у, z, и в виде функций от времени.

Прежде всего посмотрим, какой вид будут иметь уравнения (10). Функцию имеющую периодические производные, можно записать в виде

где постоянная, не зависящая от у и и, а функция периодическая по у и и. Коэффициенты при можно, не ограничивая общности, считать равными Это предположение соответствует предположению (10) в п. 204.

Что касается постоянной то она допускает разложение по степеням

Здесь равно — постоянной в уравнении (5) п. 220.

Функция S точно так же допускает разложение по степеням

где

Уравнения (10) в результате можно записать в виде

Таким образом, мы получаем

Однако имеется одна трудность, проистекающая из следующего обстоятельства. Поскольку не зависит ни от ни от 4, величины при обращаются в нуль. Следовательно, они делятся на Производная же наоборот, при становится равной

и в нуль не обращается.

Далее необходимо положить

где некоторые определенные, произвольные постоянные. Чтобы найти поступают следующим образом.

Если в функции произвести замену переменных и на производные то по определению функция перейдет в функцию которая должна быть некоторой постоянной или, точнее, некоторой

функцией от постоянных интегрирования Итак, пусть

Имеем

Очевидно, что величины допускают разложение по степеням Чтобы представить себе вид этого разложения, запишем функцию в виде ряда, расположенного по степеням

Здесь

откуда

поскольку равно нулю.

Кроме того, ясно, что

и что разложение производной начинается с члена порядка Второе из уравнений (12), в котором коэффициент делится на а правая часть — на показывает, что разложение величины начинается с члена порядка Поскольку коэффициенты также делятся на у произведение делится на а правая часть делится на Из третьего уравнения (12) видно, что делится на С другой стороны, заметим, что уравнения (11) допускают упрощение. До сих пор мы предполагали, что функции выражены через переменные постоянные Пусть теперь

Предположим (что равносильно сделанному ранее предположению), что записаны в виде функций от переменных у и u и n постоянных

Уравнения (11) запишутся тогда в виде

Отсюда видно, что несмотря на то, что уравнения и задают неявным образом наши координаты в виде функций от мы не можем решать их с помощью методов п. 30. Следовательно, соотношения между этими координатами и гораздо сложнее, чем соотношения, выведенные в и в главах XI и XX.

Ограничимся следующим замечанием.

Что произойдет с нашими уравнениями при Не станут ли они противоречивыми? Поскольку при обращаются в нуль, и равны постоянным так что

Поскольку содержит только переменные мы видим из этих уравнений, что постоянные. Перейдем ко второму уравнению Поскольку произвольная постоянная, приравняем ее некоторая заданная отличная от нуля постоянная. Второе уравнение в результате запишется в виде

и, поскольку зависит лишь от которые постоянны, оно удовлетворяется автоматически.

Посмотрим теперь, как изменилось первое уравнение. Положим

где постоянные, отличные от нуля. Вместо — возьмем значение этой разности, полученное из второго уравнения, и выпишем члены с и члены, не зависящие от

откуда

Первое уравнение удовлетворяется тождественно. Из второго находим